Matrice de Householder

${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ étant muni de sa structure euclidienne canonique et ${\displaystyle u}$ désignant le vecteur unitaire ${\displaystyle {\frac {v}{\|v\|}}}$, on a, pour tout vecteur x,

${\displaystyle H_{v}(x)=x-2(u\cdot x)u~.}$

${\displaystyle H_{v}}$ est donc la matrice, dans la base canonique, de la réflexion par rapport à l'hyperplan orthogonal à v. En particulier, c'est la matrice d'une symétrie orthogonale :

${\displaystyle H_{v}=H_{v}^{-1}=H_{v}^{T}}$.

${\displaystyle \|v\|^{2}=\|a\|^{2}-2a\cdot b+\|b\|^{2}=2(\|a\|^{2}-a\cdot b)=2v\cdot a~,}$ donc

${\displaystyle H_{v}(a)=a-2{\frac {v\cdot a}{\|v\|^{2}}}v=a-v=b~.}$