Opérateur de Householder

En algèbre linéaire, l'opérateur de Householder est défini comme suit. Soit ${\displaystyle V\,}$un espace vectoriel dit préhilbertien de dimension finie, avec une loi de composition interne ${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$ et un vecteur unitaire noté ${\displaystyle u\in V}$. Alors l'opérateur de Householder

${\displaystyle H_{u}:V\to V\,}$

est défini par

${\displaystyle H_{u}(x)=x-2\,\langle x,u\rangle \,u\,}$

Cet opérateur reflète le vecteur ${\displaystyle x}$ selon un plan donné par le vecteur normal ${\displaystyle u}$[1].

Il est également courant de choisir un vecteur non unitaire ${\displaystyle q\in V}$, et de le normaliser directement dans l'expression de l'opérateur Householder comme suit :

${\displaystyle H_{q}\left(x\right)=x-2\,{\frac {\langle x,q\rangle }{\langle q,q\rangle }}\,q\,}$

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