Matrice unitaire

En algèbre linéaire, une matrice carrée $U$ à coefficients complexes est dite unitaire si elle vérifie les égalités :

\mathrm {U} ^{*}\times \mathrm {U} =\mathrm {U} \times \mathrm {U} ^{*}=\mathrm {I}

où la matrice adjointe de $U$ est notée $U*$ (ou $U †$ en physique, et plus particulièrement en mécanique quantique) et $I$ désigne la matrice identité.

L'ensemble des matrices unitaires de taille n forme le groupe unitaire U(n).

Les matrices unitaires carrées à coefficients réels sont les matrices orthogonales.

Propriétés

Toute matrice unitaire $U$ vérifie les propriétés suivantes :

son déterminant est de module 1 ;
ses vecteurs propres sont orthogonaux ;
$U$ est diagonalisable : $\mathrm {U} =\mathrm {V} \mathrm {D} \mathrm {V} ^{*}$ où $V$ est une matrice unitaire et $D$ est une matrice diagonale et unitaire ;
$U$ peut s'écrire sous la forme d'une exponentielle d'une matrice : $\mathrm {U} =\exp(\mathrm {i} \mathrm {H} )$ où $i$ est l'unité imaginaire et $H$ est une matrice hermitienne.
$U$ est normale.

Soit $U$ une matrice carrée de taille n à coefficients complexes ; les cinq propositions suivantes sont équivalentes :

$U$ est unitaire ;
$U*$ est unitaire ;
$U$ est inversible et son inverse est $U*$ ;
les colonnes de $U$ forment une base orthonormale pour le produit hermitien canonique sur ℂⁿ ;
$U$ est normale et ses valeurs propres sont de module 1.

Les matrices unités sont des matrices unitaires.

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