Matrice inversible

${\displaystyle \left({\begin{matrix}2&-1\\-6&3\end{matrix}}\right)\left({\begin{matrix}1&2\\1&1\end{matrix}}\right)=\left({\begin{matrix}1&3\\-3&-9\end{matrix}}\right)=\left({\begin{matrix}2&-1\\-6&3\end{matrix}}\right)\left({\begin{matrix}0&1\\-1&-1\end{matrix}}\right)}$

Deux matrices différentes ayant le même produit avec une même troisième

Contrairement à la multiplication dans le corps des réels ou celui des complexes, la multiplication matricielle (même par une matrice non nulle) n’est pas toujours une opération réversible (on dit que cette loi de composition n’est pas régulière), au sens où l’égalité de deux produits AB = AC n’implique pas forcément l’égalité B = C.

De même, connaissant une matrice A et une matrice Y, l’équation AX = Y ne peut se résoudre en divisant les deux membres de l’égalité par la matrice A.

L’existence d’une matrice inverse A⁻¹ permet de résoudre ces deux problèmes, par l’équivalence suivante :

${\displaystyle AX=Y\iff X=A^{-1}Y}$.

Ainsi toute matrice inversible est simplifiable pour la multiplication à gauche ou à droite.

Cependant, la résolution d’une équation matricielle de la forme AX = Y, éventuellement donnée sous forme de système d'équations linéaires, ne se traite pas systématiquement par la détermination d’une matrice inverse pour A. Des méthodes de décomposition comme la décomposition LU sont beaucoup plus rapides que l'inversion.

Toute matrice A=(a_i,j) à coefficients dans un anneau commutatif K définit un unique endomorphisme de module (voire d’espace vectoriel) sur Kⁿ :

${\displaystyle (x_{1},\dots ,x_{n})\mapsto \left(\sum _{j=1}^{n}a_{i,j}x_{j}\right)_{1\leq i\leq n}}$

et réciproquement, tout endomorphisme sur Kⁿ peut être obtenu de la sorte à partir d’une unique matrice de ${\displaystyle {\mathcal {M}}_{n}(K)}$.

En particulier, la matrice identité est associée à l’application identité. Et comme la multiplication matricielle se traduit par la composition des applications associées (dans le même ordre), on en déduit que l’existence d’une matrice inverse est équivalente au fait que l’application associée soit un automorphisme. Ce résultat repose en partie sur la propriété fondamentale que la réciproque d’un isomorphisme de modules est aussi un isomorphisme.

La multiplicativité du déterminant appliquée à une matrice inversible A permet d’écrire

${\displaystyle \det(A)\times \det(A^{-1})=\det(I_{n})=1}$

donc le déterminant d’une matrice inversible est nécessairement inversible dans l’anneau des coefficients.

Réciproquement, le produit d’une matrice avec la transposée de sa comatrice donne la formule de Laplace

${\displaystyle A\times \ ^{\mathrm {t} }\!\mathrm {com} (A)=\det(A).I_{n}}$

donc dès lors que le déterminant est inversible dans l’anneau des coefficients, la matrice det(A)⁻¹.^tcom(A) est une inverse pour A.

En particulier, une matrice à coefficients entiers admet une inverse à coefficients entiers si et seulement si son déterminant vaut 1 ou −1.

Soit A une matrice carrée d'ordre n à coefficients dans un corps commutatif K (par exemple le corps ℝ des réels). Les propositions suivantes sont équivalentes (on note X une matrice colonne à n éléments dans K)[2] :

• A est inversible,
• le déterminant de A est non nul ;
• A possède n pivots ;
• 0 n'est pas valeur propre de A ;
• le rang de A est égal à n ;
• le système linéaire homogène AX = 0 a pour seule solution X = 0 ;
• pour tout b dans M_n,1(K), le système linéaire AX = b a au plus une solution ;
• pour tout b dans M_n,1(K), le système linéaire AX = b a au moins une solution ;
• les colonnes de A, considérées comme des vecteurs de Kⁿ, sont linéairement indépendantes ;
• les colonnes de A, considérées comme des vecteurs de Kⁿ, engendrent Kⁿ ;
• l'endomorphisme canoniquement associé à A (c’est-à-dire l'application linéaire de Kⁿ dans lui-même qui a pour matrice A dans la base canonique) est injectif ;
• l'endomorphisme canoniquement associé à A est surjectif ;
• la matrice A est inversible à gauche, c'est-à-dire qu'il existe une matrice B carrée d'ordre n telle que BA = I_n ;
• la matrice A est inversible à droite, c'est-à-dire qu'il existe une matrice B carrée d'ordre n telle que AB = I_n ;
• la transposée ^tA de A est inversible ;
• il existe un polynôme annulateur de A dont 0 n'est pas racine ;
• 0 n'est pas racine du polynôme minimal de A ;
• A est équivalente à la matrice identité I_n d'ordre n.

Lorsque l’ensemble des coefficients est un corps, une matrice triangulaire (supérieure ou inférieure) est inversible si et seulement si tous ses coefficients diagonaux sont non nuls.

Une matrice réelle dont toutes les colonnes sont orthogonales deux à deux est inversible si et seulement si elle n’a aucune colonne nulle.

Un produit de deux matrices carrées est inversible si et seulement si les deux matrices en facteur le sont aussi.

Les matrices de permutation, transvection, symétrie ou rotation et les matrices de passage sont toujours inversibles.

La matrice de variance-covariance d’une famille (X₁, … , X_n) de variables aléatoires réelles est inversible sauf s’il existe une relation affine presque sûre entre ces variables.

La matrice compagnon d’un polynôme est inversible si et seulement si ce polynôme a un coefficient constant non nul.

Pour des matrices à coefficients dans un anneau non commutatif, voire dans un semi-anneau, la détermination de l’inversibilité ne peut plus s’appuyer sur la notion de déterminant.

L’ensemble ${\displaystyle {\mathcal {M}}_{n}(\mathbb {H} )}$ des matrices carrées de quaternions se plonge naturellement comme sous-algèbre dans l’ensemble ${\displaystyle {\mathcal {M}}_{2n}(\mathbb {C} )}$ des matrices complexes de taille double, sur lequel le déterminant induit alors une fonction complexe dont l’annulation caractérise les matrices singulières. L’existence d’une inverse à gauche est encore équivalente à celle d’une inverse à droite (et ces deux inverses coïncident)[3].

Avec des coefficients booléens, munis des lois de composition interne OU et ET, les seules matrices inversibles sont les matrices de permutation, dont l’inverse égale à la transposée[4].

Étant donné une matrice carrée A de taille n, la détermination d’une matrice B satisfaisant la relation AB = I_n peut s’exprimer par un système avec n² équations linéaires et autant d’inconnues.

Cependant, même pour de faibles valeurs de n, il est beaucoup plus simple de résoudre un système traduisant l’égalité AX = Y où X est une matrice colonne de n inconnues et Y est une matrice colonne de n paramètres littéraux. L’expression des inconnues en fonction des paramètres s’écrit sous forme matricielle X = BY et la matrice B ainsi définie est la matrice inverse de A.

La résolution de ces systèmes s’appuie en général sur le processus d’élimination de Gauss-Jordan, aussi appelé algorithme du pivot de Gauss.

Si le déterminant d'une matrice A (à coefficients dans un corps commutatif) est non nul, alors A est inversible, son inverse étant donnée par :

${\displaystyle A^{-1}={\frac {1}{\det A}}\,^{\operatorname {t} }\!{{\rm {com}}A}}$

où ^tcom(A) est la transposée de la comatrice de A. En effet (cf. article détaillé), toute matrice carrée A d'ordre n vérifie :

${\displaystyle A\;{}^{\operatorname {t} }\!\left(\operatorname {com} A\right)={}^{\operatorname {t} }\!\left(\operatorname {com} A\right)\;A=\det(A)\;\mathrm {I} _{n}}$.

Cette écriture permet un calcul aisé de l'inverse d'une matrice de petite dimension. Pour des matrices de plus grande dimension, cette méthode essentiellement récursive devient inefficace.

L'équation des cofacteurs ci-dessus permet de calculer l'inverse des matrices de dimensions 2×2 : si ad – bc ≠ 0,

${\displaystyle A={\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}},\ \operatorname {com} A={\begin{pmatrix}d&-c\\-b&a\end{pmatrix}},\ ^{\operatorname {t} }\!\operatorname {com} A={\begin{pmatrix}d&-b\\-c&a\end{pmatrix}}}$,

${\displaystyle A^{-1}={\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}^{-1}={\frac {1}{ad-bc}}{\begin{pmatrix}d&-b\\-c&a\end{pmatrix}}}$.

Exemple

${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&2\\3&4\\\end{pmatrix}}^{-1}={\frac {1}{-2}}{\begin{pmatrix}4&-2\\-3&1\\\end{pmatrix}}}$.

De même, on obtient l'inverse d'une matrice ${\displaystyle A={\begin{pmatrix}a&b&c\\d&e&f\\g&h&i\\\end{pmatrix}}}$ de dimension 3×3 en calculant son déterminant (par la règle de Sarrus, par exemple) :

${\displaystyle \det A=aei+bfg+cdh-ceg-fha-ibd,\ }$

puis en utilisant la formule :

${\displaystyle A^{-1}={\begin{pmatrix}a&b&c\\d&e&f\\g&h&i\\\end{pmatrix}}^{-1}={\frac {1}{\det A}}^{\operatorname {t} }\!{\begin{pmatrix}ei-fh&fg-di&dh-eg\\ch-bi&ai-cg&bg-ah\\bf-ce&cd-af&ae-bd\end{pmatrix}}={\frac {1}{\det A}}{\begin{pmatrix}ei-fh&ch-bi&bf-ce\\fg-di&ai-cg&cd-af\\dh-eg&bg-ah&ae-bd\end{pmatrix}}}$.

Si une matrice carrée A possède un polynôme annulateur à coefficients dans un corps commutatif et de terme constant non nul, alors elle est inversible : pour tout polynôme ${\displaystyle P(X)=\sum _{k=0}^{m}a_{k}X^{k}{\text{ tel que }}a_{0}\neq 0{\text{ et }}P(A)=0,}$ on a[5] - [6] ${\displaystyle A^{-1}=-{\frac {1}{a_{0}}}\sum _{k=1}^{m}a_{k}A^{k-1}}$ avec (pour k = 1) A⁰ = I_n, où n est l'ordre de la matrice carrée A.

Réciproquement, si A est inversible, alors il existe de tels polynômes :

• le polynôme caractéristique P_A(X) = det(XI_n – A) est un polynôme annulateur de A d'après le théorème de Cayley-Hamilton, or son terme constant P_A(0) = (–1)ⁿdet(A) est non nul si (et seulement si) A est inversible ;
• le polynôme minimal de A est de degré inférieur ou égal au degré n de P_A. Ses racines sont, comme pour P_A, les valeurs propres de A. Son terme constant est donc non nul si (et seulement si) 0 n'est pas valeur propre, c'est-à-dire si A est inversible.

L'inverse d'une matrice peut également être calculée par blocs, en utilisant la formule analytique suivante :

${\displaystyle {\begin{pmatrix}A&B\\C&D\end{pmatrix}}^{-1}={\begin{pmatrix}A^{-1}+A^{-1}B(D-CA^{-1}B)^{-1}CA^{-1}&-A^{-1}B(D-CA^{-1}B)^{-1}\\-(D-CA^{-1}B)^{-1}CA^{-1}&(D-CA^{-1}B)^{-1}\end{pmatrix}}={\begin{bmatrix}A^{-1}&0\\0&0\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}-A^{-1}B\\I\end{bmatrix}}(D-CA^{-1}B)^{-1}{\begin{bmatrix}-CA^{-1}&I\end{bmatrix}},}$

où A, B, C et D sont des blocs de taille arbitraire, sous réserve que A soit inversible ainsi que son complément de Schur D – CA⁻¹B. Cette méthode peut se révéler avantageuse, par exemple, si A est diagonale et si son complément D – CA⁻¹B est une matrice de petite dimension, puisque ce sont les seules matrices à inverser.

Cette technique a été inventée par Volker Strassen, connu également pour l'algorithme de Strassen sur le produit matriciel rapide.

Si D est inversible ainsi que son complément A – BD⁻¹C, on a la formule duale :

${\displaystyle {\begin{pmatrix}A&B\\C&D\end{pmatrix}}^{-1}={\begin{pmatrix}\left(A-BD^{-1}C\right)^{-1}&-\left(A-BD^{-1}C\right)^{-1}BD^{-1}\\-D^{-1}C\left(A-BD^{-1}C\right)^{-1}&D^{-1}+D^{-1}C\left(A-BD^{-1}C\right)^{-1}BD^{-1}\end{pmatrix}}}$.

(Si les matrices A et D sont toutes deux inversibles ainsi que leurs compléments, on peut combiner ces deux formules en choisissant, pour chacun des quatre blocs de la matrice inverse, l'une des deux expressions fournies.)

Cette relation permet de montrer que la complexité algorithmique de l'inversion de matrice est la même que celle du produit matriciel[7].