Symétrie vectorielle

En considérant (K,+,.) un corps, (E,+,•) un K-espace vectoriel, F et G deux sous-espaces vectoriels supplémentaires de E, la symétrie par rapport à F parallèlement à G est l'unique endomorphisme s de E tel que la restriction de s sur F est l'injection canonique de F dans E et la restriction de F sur G est l'opposé de l'injection canonique de G dans E.

N'importe quel vecteur x de E peut s'écrire d'une façon unique comme somme d'un vecteur de F et d'un vecteur de G : ${\displaystyle \forall x\in E,\exists$ !(x',x'')\in F\times G,x=x'+x''} . La symétrie par rapport à F parallèlement à G est alors l'application :

${\displaystyle {\begin{matrix}s:&E=F\oplus G&\rightarrow E\\&x=x'+x''&\mapsto x'-x''\end{matrix}}}$

Il est immédiat de remarquer que s ∘ s = Id_E .

Si la caractéristique de K est différente de 2 alors, pour tout endomorphisme s de E tel que s ∘ s = Id_E, les sous-espaces Ker(s - Id_E) et Ker(s + Id_E) sont supplémentaires, et s est la symétrie par rapport au premier, parallèlement au second[2].

La notion de symétrie vectorielle est liée à celle des projecteurs et projections.

• si p est un projecteur et q = Id - p sa projection associée alors s = p - q est une symétrie.
• Si la caractéristique de K est différente de 2, si s est une symétrie, p = ¹⁄₂(s + Id) et q = ¹⁄₂(s - Id) sont ses projecteurs associés.

Dans un espace quadratique, la symétrie est dite orthogonale si les sous-espaces F et G sont orthogonaux. Une symétrie orthogonale est une isométrie.