Involution (mathématiques)

Soit ${\displaystyle E}$ un ensemble, supposé non vide. On dit qu'une application ${\displaystyle f:E\to E}$ est involutive (ou que c'est une involution de E) si ${\displaystyle f(f(x))=x}$ pour tout ${\displaystyle x\in E}$. Autrement dit : ${\displaystyle f\circ f=\mathrm {id} _{E}}$ : la composée de f avec elle-même est l'application identité de E.

Une application f de E dans lui-même est une involution si et seulement si elle est bijective et telle que f⁻¹ = f (l'image et l'antécédent de tout élément de E coïncident).

La composée g∘f de deux involutions f et g de E est involutive si et seulement si f et g commutent, c'est-à-dire si f∘g = g∘f.

Soit f une involution de E :

• si g est une bijection de E sur F, de bijection réciproque g⁻¹, alors g∘f∘g⁻¹ est une involution de F ;
• si g est une application de E dans E telle que g∘f∘g = f, alors f∘g et g∘f sont des involutions de E.

En algèbre linéaire, si K est un corps et E un K-espace vectoriel :

• les symétries sur E sont les endomorphismes involutifs de E.
  • en particulier, sur l'espace vectoriel M_n(K) des matrices carrées d'ordre n à coefficients dans K, la transposition est un endomorphisme involutif.
• lorsque E est de dimension finie n, on peut associer à chaque endomorphisme de E sa matrice A (élément de M_n(K)) dans une base fixée ; cette matrice est celle d'une symétrie si et seulement si A×A est égale à la matrice identité I_n.

En algèbre, l'application d'un groupe dans lui-même qui à chaque élément x associe son symétrique x⁻¹ est involutive : (x⁻¹)⁻¹ = x.

En analyse, pour tous réels b ≠ 0 et a, les applications ${\displaystyle x\mapsto {\frac {b}{x-a}}+a,}$ définie sur ℝ\{a} et ${\displaystyle x\mapsto a-x,}$ définie sur ℝ, sont des involutions.

La conjugaison complexe est une involution de ℂ. Plus généralement :

• sur l'ensemble des matrices carrées d'ordre n à coefficients complexes, l'application qui à toute matrice associe son adjointe est une involution.
• sur une extension quadratique, l'application qui à tout élément associe son conjugué est involutive.

En logique classique, la négation est involutive : « non non A » équivaut à « A » ; mais ce n'est pas le cas en logique intuitionniste.

Une permutation est une involution si et seulement si elle se décompose en cycles disjoints de longueurs inférieures ou égales à 2. Elle est ainsi exclusivement constituée de points fixes et de transpositions.

Le concept d'involution peut être étendu à d'autres objets mathématiques : en effet si l'on considère un monoïde (M, ✻, e), on dit qu'un élément a de M est une involution (pour la loi ✻) ou est involutif (dans M) si a ✻ a = e.

On a alors, pour tout entier naturel k : a^2k = e^k = e donc a^{2k + 1} = e ✻ a = a.

L'élément neutre d'un monoïde est une involution de ce monoïde.

Un cas qui revient fréquemment est celui d'une involution dans un anneau par rapport à la deuxième loi.

• Nilpotent
• Idempotence
• Automorphisme
• Algèbre involutive