Extension quadratique

Soit P(X) un polynôme irréductible sur K, de degré 2. Dans l'anneau principal K[X], l'idéal (P(X)) engendré par l'élément irréductible P(X) est donc maximal, si bien que l'anneau quotient K[X]/(P(X)) est un corps, noté ici L. Le corps K s'identifie à un sous-corps de L par le plongement de K dans L qui à chaque k associe sa classe. Soit Q(X) un polynôme à coefficients dans K, la division euclidienne de Q(X) par P(X) montre qu'il est congru à un unique polynôme du premier degré, si bien que l'élément 1 et la classe du monôme X, forment une base du K-espace vectoriel L. Ainsi, le corps L est bien une extension quadratique de K.

Plus concrètement, si α est élément algébrique de degré 2 sur K, l'ensemble des nombres de la forme x + yα, où x et y désignent deux éléments de K, est un corps. Pour l'inverse de x + yα non nul, on considère la relation suivante (où α est l'élément conjugué de α, c'est-à-dire l'« autre » racine du polynôme X² + bX + c définissant α) :${\displaystyle {\frac {1}{x+y\alpha }}={\frac {x+y{\overline {\alpha }}}{(x+y\alpha )(x+y{\overline {\alpha }})}},}$ et l'on voit que le produit (x + yα)(x + yα) = x² – xyb + y²c appartient à K, ce qui donne, via la relation α = –b – α, un élément de la forme x' + y' α, avec x', y' ∈ K. Autre façon de procéder (généralisable aux corps de nombres quelconques) : écrire une relation de Bézout (x + yX) U(X) + (X² + bX + c) V(X) = 1 dans K[X] ; alors U(α) est l'inverse de x + yα.

Réciproquement, soient M une extension quadratique quelconque de K, α un élément de M qui n'est pas élément de K et (c, b) les coordonnées de l'élément –α² dans la base (1, α). Alors, P(X) = X² + bX + c est irréductible (c'est le polynôme minimal de α sur K), ce qui permet de construire L = K[X]/(P(X)) comme ci-dessus, et le morphisme de K[X] dans M qui à tout polynôme Q(X) associe Q(α) induit alors un isomorphisme de L sur M.

On peut de plus remarquer que l'extension est non seulement un corps de rupture du polynôme P, mais même un corps de décomposition, car si α est l'une des deux racines de P dans M alors son conjugué α est l'élément –b – α de M. Ainsi, toute extension quadratique est normale.

• Dans la construction précédente, le cas typique est celui où b est nul, c'est-à-dire où le polynôme P(X) est de la forme X² – d avec d non carré dans K. Dans ce cas, la classe de X est notée √d, et L=K[X]/(X²–d) est noté K(√d).
• Lorsque la caractéristique de K est différente de 2 (par exemple si K est le corps des nombres rationnels, réels ou complexes, dont la caractéristique est nulle), on peut toujours se ramener à cette forme, par complétion du carré :${\displaystyle X^{2}+bX+c=Y^{2}-d\quad {\text{avec}}\quad Y=X+{\frac {b}{2}}\quad {\text{et}}\quad d={\frac {b^{2}-4c}{4}}}$donc K[X]/(P(X))=K[Y]/(Y²–d) (ou encore, en posant δ = α + b/2 : K(α)=K(δ) et δ²=d), ce qui montre la proposition suivante :Pour toute extension quadratique M d'un corps K de caractéristique différente de 2, il existe un élément d de K qui n'admet pas de racine carrée dans K tel que M est isomorphe à K(√d).
• Lorsque b n'est pas nul, on peut toujours se ramener à une autre forme canonique :${\displaystyle X^{2}+bX+c=b^{2}(Y^{2}-Y+a)\quad {\text{avec}}\quad Y=-{\frac {X}{b}}\quad {\text{et}}\quad a={\frac {c}{b^{2}}}}$donc K[X]/(P(X))=K[Y]/(Y²–Y+a). Si la caractéristique vaut 2, ce type d'extension appartient à la théorie d'Artin-Schreier.

Un cas souvent utilisé en arithmétique est celui où K est le corps ℚ des rationnels. La proposition précédente prend une forme un peu plus forte :

Remarque : Le symbole √ porte une double signification. Soit il désigne une fonction des réels positifs vers les réels positifs, soit il désigne la classe de X dans le quotient défini précédemment. La première définition ne peut se généraliser aux nombres négatifs. En effet, –1 n'a pas de racine dans l'ensemble des réels et en possède deux dans celui des complexes. Si l'approche algébrique permet de définir rigoureusement √–1, tel n'est pas le cas de l'autre approche. Pour cette raison, si d est strictement positif, √–d est aussi noté i√d, avec i désignant l'unité imaginaire. L'extension est alors identifiée avec un sous-corps des nombres complexes. C'est un cas particulier de la théorie de Kummer (qui dit que toute extension cyclique de degré n d'un corps k contenant toutes les racines n-ièmes de l'unité est de la forme k(ⁿ√δ) pour un δ ∈ k convenable ; cette hypothèse dans le cas n = 2 étant toujours vérifiée pour les corps k de caractéristique différente de 2). Lorsque l'hypothèse « k contient toutes les racines n-ièmes de l'unité » n'est pas vérifiée, la notation radicale n'est pas utilisable car par exemple le corps K = ℚ(³√5) dépend du choix de la racine de X³ – 5 (et en plus le corps K n'est pas galoisien), contrairement au cas kummérien.

Les corps quadratiques, c'est-à-dire les sous-corps de ℂ qui sont des extensions quadratiques de ℚ, sont donc en bijection avec les entiers sans facteur carré d ≠ 1. Si d > 1, le corps ℚ(√d), inclus dans ℝ, est dit quadratique réel (ou totalement réel, ce qui pour un corps quadratique est équivalent) ; si d < 0, il est dit quadratique imaginaire (ou totalement imaginaire (en), ou complexe). L'anneau de ses entiers est étudié dans l'article « Entier quadratique ». Un des intérêts de cette étude est la résolution d'équations diophantiennes. Celles du dernier théorème de Fermat, de Pell-Fermat ou des deux carrés en sont des exemples.

L'extension L de K est dite séparable si le polynôme minimal sur K de tout élément de L n'admet que des racines simples.

Dit autrement : les seules extensions quadratiques non séparables sont celles de la forme K(√d) avec K de caractéristique 2. En effet, L est séparable sur K si et seulement si les deux racines α et –b–α sont distinctes, ce qui est toujours le cas sauf si b=0 et si la caractéristique de K vaut 2 (il s'agit dans ce cas d'une extension radicielle).

Un élément σ du groupe de Galois est entièrement déterminé par σ(α), qui doit être égal à l'une des deux racines.

• Si les deux racines sont confondues (ce qui correspond au cas non séparable), on trouve bien que le groupe de Galois est réduit à l'identité.
• Si elles sont distinctes, le groupe de Galois contient un autre élément σ, décrit dans la base (1, α) par :${\displaystyle \forall x,y\in K\quad \sigma (x+y\alpha )=(x-yb)-y\alpha .}$L'image par σ d'un élément de L est son élément conjugué, et le produit d'un élément par son conjugué est sa norme relative :${\displaystyle {\mathcal {N}}_{L/K}(x+y\alpha )=(x+y\alpha )\sigma (x+y\alpha )=x^{2}-xyb+y^{2}c\in K.}$L'application « norme relative » est multiplicative, puisque l'application identité et σ le sont.
  En caractéristique différente de 2, on peut supposer P(X)=X²–d et noter √d, –√d les deux racines. Les expressions se simplifient alors :${\displaystyle \forall x,y\in K\quad \sigma (x+y{\sqrt {d}})=x-y{\sqrt {d}}\quad {\text{et}}\quad {\mathcal {N}}_{L/K}(x+y{\sqrt {d}})=x^{2}-dy^{2}.}$

Si L est une extension quadratique de K, tout élément de L est algébrique de degré 1 ou 2 sur K. La réciproque est vraie sous certaines hypothèses :

Soit L une extension propre de K telle que tout élément de L est algébrique de degré 1 ou 2 sur K. Si l'extension est séparable (en particulier si la caractéristique est différente de 2) alors elle est quadratique.

L'hypothèse de séparabilité est indispensable : par exemple si L = F₂(X, Y) et K = F₂(X², Y²), alors L est une extension de K de degré 4, bien que tous ses éléments soient de degré 1 ou 2.