Extension de corps

Si L/K est une extension de corps, alors L est un espace vectoriel sur K[1], où l'addition vectorielle est l'addition dans L et la multiplication par un scalaire K × L → L est la restriction à K×L de la multiplication dans L.

La dimension du K-espace vectoriel L est appelée le degré de l'extension et est notée [L:K]. On dit que L/K est une extension finie si le degré est fini (sinon on dit que c'est une extension infinie). Par exemple, [ℂ:ℝ] = 2 et l'extension ℂ/ℝ est donc finie. Par contre, puisque ℝ contient des nombres transcendants, l'extension ℝ/ℚ est infinie (on peut même montrer que son degré est égal au cardinal de ℝ).

Si M est une extension de L qui est elle-même une extension de K, alors M est une extension de K et l'on a :

En effet, si (m_i)_i∈I est une L-base de M et (l_j)_j∈J une K-base de L, alors la famille des produits m_i l_j, indexée par I × J, est une K-base de M.

En particulier si les extensions M/L et L/K sont finies, alors l'extension M/K est finie. Et réciproquement.

On a vu plus haut la notion d'extension engendrée. Une extension engendrée par un seul élément est appelée extension simple. Elle est finie si et seulement si elle est engendrée par un élément algébrique. En conséquence, si M/K est finie, alors M/K est algébrique.

Par exemple, ℂ est une extension simple de ℝ car elle est engendrée par i, l'unité imaginaire. L'extension ℝ/ℚ, n'étant ni finie, ni purement transcendante, n'est pas simple.

Une extension L/K est dite radicielle si tout élément x de L est une racine d'un élément de K, c'est-à-dire que xⁿ ∈ K pour une puissance convenable de x. Alors K est de caractéristique positive p, et x^pm ∈ K pour un entier naturel m convenable.

Une extension L/K est dite normale si elle est algébrique et si pour tout élément x de L, le polynôme minimal de x sur K a toutes ses racines dans L.

Un élément algébrique d'une extension L/K est dit séparable sur K s'il annule un polynôme séparable à coefficients dans K (c'est-à-dire un polynôme premier avec son dérivé, ou de façon équivalente, un polynôme qui n'a pas de racine multiple dans une clôture algébrique de K). Une extension algébrique est dite séparable si tous ses éléments sont séparables sur K. Toute extension algébrique d'un corps parfait est séparable. Toute extension finie séparable est simple (la réciproque est cependant manifestement fausse).

Toute extension algébrique est extension radicielle d'une extension séparable.

Une extension (algébrique) L/K est dite «de Galois» ou «galoisienne» lorsqu'elle est normale et séparable. Le groupe des automorphismes de l'extension est alors d'ordre son degré [L:K]. Ce groupe est appelé le groupe de Galois de l'extension.

Par exemple, ℂ/ℝ est de Galois, son groupe de Galois est « le » groupe d'ordre 2.

On dit que des éléments x₁, … , x_n de L sont algébriquement indépendants sur K, ou que l'ensemble {x₁, … , x_n} est algébriquement libre sur K, s'il n'existe pas de polynôme non nul P(X₁, … , X_n) dans K[X₁, … , X_n] tel que P(x₁, … , x_n) = 0. Un ensemble d'éléments de L est dit algébriquement libre sur K si tous ses sous-ensembles finis le sont.

Si L est engendré par une famille d'éléments algébriquement indépendants sur K, l'extension est dite purement transcendante. Cela équivaut à dire que L est le corps des fractions d'un anneau de polynômes (à plusieurs indéterminées, éventuellement une infinité), soit un corps de fractions rationnelles, à coefficients dans K. Dans ce cas, la fermeture algébrique de K dans L est réduite à K.

Toute extension est extension algébrique d'une extension purement transcendante.

Une famille d'éléments de L est appelée une base de transcendance si elle est algébriquement indépendante sur K et si elle n'est strictement contenue dans aucune famille algébriquement indépendante de L. Les bases de transcendance « existent » (cf. lemme de Zorn) et ont toutes le même cardinal, appelé le degré de transcendance de L sur K.

Par exemple, le degré de transcendance de l'extension ℝ/ℚ est égal à la puissance du continu, c'est-à-dire au cardinal de ℝ.

Les extensions algébriquement closes d'un corps sont caractérisées (à isomorphisme près) par leur degré de transcendance.

Une extension L/K engendrée par une famille finie est dite de type fini. Toute extension finie est de type fini. L'extension ℂ/ℚ n'est pas de type fini. Si L/K est de type fini, alors L est une extension finie d'un corps K(X₁, … , X_n) de fractions rationnelles à plusieurs variables. Les extensions de type fini interviennent en géométrie algébrique, ce sont exactement les corps de fonctions rationnelles sur les variétés algébriques intègres. Elles sont de degré de transcendance fini.

Tour de corps

Serge Lang, Algèbre [détail des éditions]