Indépendance algébrique

Soient L un corps commutatif, S un sous-ensemble de L et K un sous-corps de L. On dit que S est algébriquement libre sur K, ou que ses éléments sont algébriquement indépendants sur K si, pour tout suite finie (s₁, … , s_n) d'éléments distincts de S et tout polynôme non nul P(X₁, … , X_n) à coefficients dans K on a P(s₁, … , s_n) ≠ 0.

• Cas particulier K = ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ et L = ${\displaystyle \mathbb {C} }$

Définition : ${\displaystyle u,v\in \mathbb {C} ^{*}}$

${\displaystyle \mathbb {Q} (u,v)=\{x={\frac {P(u,v)}{Q(u,v)}}\ \ \,\ P,Q\ non\ nuls\ \in {\overline {\mathbb {Q} }}[X,Y]\ avec\ Q(u,v)\neq 0\}}$

${\displaystyle \mathbb {Q} (u,v)}$ est le plus petit corps de ${\displaystyle \mathbb {C} }$ contenant ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ et u,v .

Soit ${\displaystyle \alpha \in \mathbb {C} ^{*}}$ on dit que ${\displaystyle \alpha }$ est algébrique sur ${\displaystyle T=\mathbb {Q} (u,v)}$ s' il existe un polynome non-nul ${\displaystyle P\in T[X]}$ tel que

${\displaystyle P(\alpha )=0}$

${\displaystyle \sum a_{k}\alpha ^{k}=0}$

${\displaystyle \sum {\frac {P_{k}(u,v)}{Q_{k}(u,v)}}\alpha ^{k}=0\ \ avec\ Q_{k}(u,v)\neq 0}$

En particulier :

${\displaystyle \alpha ^{k}={\frac {P(u,v)}{Q(u,v)}}}$

où ${\displaystyle k\in \mathbb {N} ,\ P,Q\ non\ nuls\ \in {\overline {\mathbb {Q} }}[X,Y]\ avec\ Q(u,v)\neq 0}$

Définition degré de transcendant (sur Q) :

${\displaystyle Deg\ \mathbb {Q} (\alpha _{1},\alpha _{2},...\alpha _{d})}$ = Le cardinal d'une plus grande famille algébriquement libre

Théorème :

${\displaystyle \{\alpha _{1},\alpha _{2},...\alpha _{d}\}}$ algébriquement indépendants ${\displaystyle \Leftrightarrow }$

${\displaystyle Deg\ \mathbb {Q} (\alpha _{1},\alpha _{2},...\alpha _{d})=d}$

Propriété :

{${\displaystyle \alpha ,\beta }$} algébriquement indépendants et

${\displaystyle \alpha ^{k}={\frac {P(u,v)}{Q(u,v)}}}$

${\displaystyle \beta ^{m}={\frac {S(u,v)}{T(u,v)}}}$

${\displaystyle P,Q,S,T\ non\ nuls\ \in {\overline {\mathbb {Q} }}[X,Y]\ avec\ Q(u,v)\neq 0,\ T(u,v)\neq 0}$

alors

{${\displaystyle u,v}$} algébriquement indépendants.

En effet {${\displaystyle \alpha ,\beta }$} algébriquement indépendants ${\displaystyle \Rightarrow }$

${\displaystyle Deg\ \mathbb {Q} (\alpha _{,}\beta )=2}$

{${\displaystyle \alpha ,\beta }$} algébriques sur ${\displaystyle \mathbb {Q} (u,v)}$ ${\displaystyle \Rightarrow }$

${\displaystyle Deg\ \mathbb {Q} (\alpha _{,}\beta )=Deg\ \mathbb {Q} (u,v)=2}$ ${\displaystyle \Rightarrow }$

{u,v} algébriquement indépendants.

ex:

1) à partir du théorème de Chudnovsky on montre que

${\displaystyle \alpha ={\frac {\Gamma ^{2}(1/4)}{\sqrt {8\pi }}}}$

{${\displaystyle \alpha ,\pi }$} algébriquement indépendants.

comme

${\displaystyle \alpha ^{2}={\frac {\Gamma ^{4}(1/4)}{8\pi }}={\frac {P(\Gamma (1/4),\pi )}{Q(\Gamma (1/4),\pi )}}}$

on en déduit que

{${\displaystyle \Gamma (1/4),\pi }$} algébriquement indépendants.

2) On montre que

${\displaystyle \alpha ={\frac {\Gamma ^{3}(1/3)}{2^{4/3}\pi }}}$

{${\displaystyle \alpha ,\pi }$} algébriquement indépendants.

comme

${\displaystyle \alpha ={\frac {\Gamma ^{3}(1/3)}{2^{4/3}\pi }}={\frac {P(\Gamma (1/3),\pi )}{Q(\Gamma (1/3),\pi )}}}$

on en déduit que

{${\displaystyle \Gamma (1/3),\pi }$} algébriquement indépendants.

3) à partir du théorème Nesterenko on montre que

${\displaystyle \alpha ={\frac {3\Gamma ^{8}(1/4)}{8^{2}\pi ^{6}}}}$

{${\displaystyle \alpha ,3/\pi ,e^{-2\pi }}$} algébriquement indépendants.

comme

${\displaystyle \alpha ={\frac {3\Gamma ^{8}(1/4)}{8^{2}\pi ^{6}}}={\frac {P(\Gamma (1/4),\pi ,e^{\pi })}{Q(\Gamma (1/4),\pi ,e^{\pi })}}}$

${\displaystyle e^{-2\pi }={\frac {1}{(e^{\pi })^{2}}}={\frac {P(\Gamma (1/4),\pi ,e^{\pi })}{Q(\Gamma (1/4),\pi ,e^{\pi })}}}$

on en déduit que

{${\displaystyle \Gamma (1/4),\pi ,e^{\pi }}$} algébriquement indépendants.

4) à partir du théorème Nesterenko on montre que

${\displaystyle \alpha ={\frac {27\Gamma ^{18}(1/3)}{2^{9}\pi ^{12}}}}$

{${\displaystyle \alpha ,{\frac {2{\sqrt {3}}}{\pi }},-e^{-\pi {\sqrt {3}}}}$} algébriquement indépendants.

comme

${\displaystyle \alpha ={\frac {27\Gamma ^{18}(1/3)}{2^{9}\pi ^{12}}}={\frac {P(\Gamma (1/3),\pi ,e^{\pi {\sqrt {3}}})}{Q(\Gamma (1/3),\pi ,e^{\pi {\sqrt {3}}})}}}$

${\displaystyle {\frac {2{\sqrt {3}}}{\pi }}={\frac {P(\Gamma (1/3),\pi ,e^{\pi {\sqrt {3}}})}{Q(\Gamma (1/3),\pi ,e^{\pi {\sqrt {3}}})}}}$

${\displaystyle -e^{-\pi {\sqrt {3}}}={\frac {-1}{e^{\pi {\sqrt {3}}}}}={\frac {P(\Gamma (1/3),\pi ,e^{\pi {\sqrt {3}}})}{Q(\Gamma (1/3),\pi ,e^{\pi {\sqrt {3}}})}}}$

on en déduit que

{${\displaystyle \Gamma (1/3),\pi ,e^{\pi {\sqrt {3}}}}$} algébriquement indépendants.

d'où

{${\displaystyle \pi ,e^{\pi {\sqrt {3}}}}$} algébriquement indépendants.

Un singleton {s} est algébriquement libre sur K si et seulement si son élément s est transcendant sur K.

Si S est algébriquement libre sur K alors il l'est sur tout sous-corps de K.

Si S est algébriquement libre sur K alors toute partie de S l'est aussi. Plus précisément, si V et W sont deux parties de L disjointes, alors leur réunion V⋃W est algébriquement libre sur K si et seulement si V est algébriquement libre sur K et W est algébriquement libre sur le sous-corps K(V) de L.

En particulier, si S est algébriquement libre sur K alors tous ses éléments sont transcendants sur K, mais la réciproque est clairement fausse : par exemple le sous-ensemble {π, 1/π} du corps ℝ des nombres réels n'est pas algébriquement libre sur le corps ℚ des nombres rationnels, puisque le polynôme non nul à coefficients rationnels P(X, Y) = XY – 1 vérifie P(π, 1/π) = 0.

Dans le corps de fractions rationnelles K(X₁, … , X_n), les indéterminées X₁, … , X_n sont algébriquement indépendantes sur K ; les polynômes symétriques élémentaires le sont aussi.

Une partie K-algébriquement libre maximale de L s'appelle une base de transcendance de L sur K, et le cardinal d'une telle base est appelé le degré de transcendance de l'extension.

Le théorème de Lindemann-Weierstrass peut souvent être utilisé pour prouver que certains ensembles sont algébriquement libres sur ℚ.

On ne sait pas si l'ensemble {π, e} est algébriquement libre sur ℚ (on ne sait même pas si π + e est irrationnel).

Nesterenko a prouvé en 1996 un théorème[1] dont il résulte par exemple que {π, e^π, Γ(1/4)}, {π, e^π√3, Γ(1/3)} et {π, e^π√d} pour tout entier d > 0, sont algébriquement libres sur ℚ[2] - [3] (on savait déjà que {π, Γ(1/4)} et {π, Γ(1/3)} sont algébriquement libres[4] - [5], et donc aussi {π, Γ(1/6)}, puisqu'on déduit des relations fonctionnelles sur la fonction Gamma que Γ(1/6) = Γ(1/3)² 2^–1/3 (3/π)^1/2).

On sait peu de choses sur les valeurs aux entiers impairs de la fonction zêta de Riemann, mais il est conjecturé[3] - [6] - [7] que les nombres π, ζ(3), ζ(5), ζ(7), … sont algébriquement indépendants sur ℚ.

(en) Michel Waldschmidt, « Elliptic Functions and Transcendence », dans Krishnaswami Alladi, Surveys in Number Theory, Springer, coll. « Dev. Math. » (n^o 17), 2008 (lire en ligne), p. 143-188