Indéterminée

Traiter une équation polynômiale à l'aide d'une fonction polynomiale ou d'un polynôme formel ne se résume pas à une question de formalisme. Les outils utilisés dans les deux cas ne sont en général pas les mêmes. La modélisation à l'aide de l'indéterminée se justifie surtout par l'usage d'outils qui se définissent de manière plus naturelle avec ce formalisme. Rechercher les racines d'un polynôme P, revient à le factoriser en polynômes unitaires du premier degré. On écrit P de la manière suivante, et x₁..., x_n sont les racines de P :

${\displaystyle P=(X-x_{1})\cdots (X-x_{n})}$

Pour illustrer l'usage de ces outils, recherchons les racines du polynôme : P = X² - 2X + 3 de Q[X], c'est-à-dire de l'anneau des polynômes formels à coefficients dans Q. Le polynôme P est irréductible, c'est-à-dire que dans Q[X] l'anneau des polynômes formels, P(X) ne se factorise pas en produit de deux polynômes du premier degré. Il devient nécessaire de construire un corps commutatif K, contenant à la fois Q et x₁ une racine de P. Il serait possible de choisir K égal à C, le corps des complexes, mais l'algébriste préfère l'usage d'un corps le plus petit possible. L'équation P(x) = 0, pour x élément d'un corps L admet alors des racines si et uniquement si le corps L contient une copie du corps K. Pour construire ce corps, on utilise la même idée que celle de la congruence sur les entiers, mais cette fois ci sur l'anneau Q[X] modulo P. On obtient un anneau quotient composée de polynômes de degrés inférieurs ou égaux à 1, car la division euclidienne d'un polynôme par P donne un reste de degré strictement plus petit que celui de P. Si x₁ désigne la classe modulo P de l'indéterminée X, alors toute congruence est de la forme a + b.x₁. On note ce quotient Q[x₁], cette structure est celle d'un corps commutatif (voir l'article Extension quadratique). Si P est maintenant considéré comme un polynôme à coefficients dans Q[x₁], il admet une racine :

${\displaystyle X^{2}-2X+3=\underbrace {(X^{2}-2X+3)\cdot 1+0} _{\text{division euclidienne}}\quad {\text{et}}\quad X^{2}-2X+3\equiv 0\mod P\quad {\text{ou encore}}\quad x_{0}^{2}-2x_{0}+3=0}$

La logique est bien différente de celle d'une modélisation à l'aide de la fonction polynomiale. Avec une fonction polynomiale, la solution s'exprime par le calcul de l'image par la fonction polynomiale d'un élément d'une extension de Q. Une extension de Q est un corps contenant Q, souvent C. Avec l'indéterminée et les polynômes formels, on construit un corps contenant une racine, appelé corps de rupture et la racine s'obtient par un passage au quotient et non par calcul d'une valeur par une fonction. Le corps Q[x₁] est un bon candidat pour être le corps K recherché. Il contient bien une racine de P et tout élément de Q[x₁] s'écrit a + bx₁, où a et b sont deux nombres rationnels. Le corps Q[x₁] est bien le plus petit contenant à la fois Q et une racine de P.

Une division euclidienne de P par le polynôme formel X - x₁ montre que la deuxième racine est aussi élément de Q[x₁]. Le développement de la forme factorisée de P donne de plus des relations :

${\displaystyle X^{2}-2X+3=(X-x_{1})(X-x_{2})\quad {\text{avec}}\quad x_{1}\in \mathbb {Q} [x_{1}]\quad {\text{et}}\quad x_{1}+x_{2}=2,\;x_{1}\cdot x_{2}=3}$

Le corps K choisi n'est pas toujours Q[x₁], parfois on préfère exprimer les racines par radicaux. Un radical est une racine du polynôme Xⁿ - q. On la construit de la même manière et on la note parfois[5] : ⁿ√q. Ici q peut, sans ambiguïté désigner un nombre négatif. En effet, √q désigne la classe de X dans les congruences de Q[X] modulo Xⁿ - q.

Le corps Q[x₁] peut aussi être vu comme un espace vectoriel sur Q, de dimension 2 et de base (1, x₁). L'objectif est de trouver un radical r dans Q[x₁], ici un radical est irrationnel dont le carré est rationnel. La famille (1, r) est nécessairement libre car r est irrationnel et génératrice car Q[x₁] est de dimension 2. Pour trouver ce radical, on considère les automorphismes du corps Q[x₀], c'est-à-dire les applications qui respectent l'addition, la multiplication du corps et qui ont pour image de 1 la valeur 1. Ces automorphismes forment un groupe appelé groupe de Galois. Dans le cas considéré, il n'en existe que deux, l'un est l'identité; l'autre, noté σ est l'application linéaire qui à 1 associe 1 et à x₁ associe x₂. Comme la somme de x₁ et x₂ est égale à 2, on obtient la matrice S de σ, vu comme un endomorphisme d'espace vectoriel. La matrice est donnée dans la base (1, x₁).

${\displaystyle S={\begin{pmatrix}1&2\\0&-1\end{pmatrix}}}$

L'endomorphisme σ est diagonalisable de vecteurs propres 1 et r = x₁ - x₂ de valeurs propres respectives 1 et -1. On remarque que (x₁ - x₂)² est un vecteur propre de valeur propre 1, c'est donc une combinaison linéaire de 1, c'est-à-dire un nombre rationnel, r est bien le radical recherché. Un rapide calcul montre que r² = -8. Il devient possible de définir K, ici égal à Q[√-2]. Si maintenant x₁ et x₂ désignent toujours les deux racines du polynôme P, mais cette fois dans K, on dispose des deux égalités :

${\displaystyle x_{0}+x_{1}=2\quad {\text{et}}\quad x_{0}-x_{1}=2{\sqrt {-2}}\quad {\text{donc}}\quad x_{0}=1+{\sqrt {-2}},\;x_{1}=1-{\sqrt {-2}}}$

Il est possible de généraliser cette méthode pour venir à bout de toute équation polynomiale, résoluble par radicaux, elle entre dans une théorie dite de Galois. Il devient maintenant possible de résoudre l'équation polynomiale dans C. Le corps K est isomorphe, au sous-corps de C contenant les combinaisons linéaires à coefficients rationnels de 1 et de i.√2. Attention, dans C le symbole √-2 est ambiguë, il peut désigner à la fois i.√2 et -i.√2. Les deux racines dans C sont donc 1 + i.√2 et 1 - i.√2. La valeur √2 désigne dans C et dans R un être mathématique défini tout à fait différemment et à l'aide de la topologie. La fonction qui à x associe x² est continue et de dérivée strictement croissante sur R⁺- {0}, c'est une bijection de R⁺ dans R⁺ et 2 admet un antécédent, nommé √2.

L'usage d'outils différents (le x de la variable dans la fonction polynomiale x² et le X désignant l'indéterminée) permet des résolutions différentes d'une même question : l'extraction des racines d'un polynôme. Les deux expressions des solutions n'ont pas la même signification.