Série formelle

Soit R un anneau commutatif (unifère). L'anneau R[[X]] des séries formelles sur R en une indéterminée X est le groupe abélien (R^N, +) des suites à valeurs dans R, muni d'une certaine loi interne de multiplication. Plus précisément[1] - [2] :

• une suite (a_n)_n≥0 d'éléments de R, lorsqu'elle est considérée comme un élément de R[[X]], se note[3] ∑_n≥0 a_nXⁿ ;
• l'addition de deux suites se fait terme à terme :${\displaystyle \sum _{n\in \mathbb {N} }a_{n}X^{n}+\sum _{n\in \mathbb {N} }b_{n}X^{n}=\sum _{n\in \mathbb {N} }(a_{n}+b_{n})X^{n}}$ ;
• le produit de deux suites, appelé produit de Cauchy, est défini par :${\displaystyle \sum _{i\in \mathbb {N} }a_{i}X^{i}\times \sum _{j\in \mathbb {N} }b_{j}X^{j}=\sum _{n\in \mathbb {N} }\left(\sum _{i+j=n}a_{i}b_{j}\right)X^{n}}$

(c'est une sorte de produit de convolution discret).

Ces deux opérations font de R[[X]] un anneau commutatif.

Soit S(X) = ∑_n≥0 a_nXⁿ une série formelle, notée encore S pour abréger. Son ordre ω(S) est un entier qui n'est défini que si S ≠ 0 : c'est le plus petit n tel que a_n ≠ 0[4].

Si R est intègre alors l'anneau R[[X]] l'est aussi, et ω(ST) = ω(S) + ω(T) pour S et T non nulles dans cet anneau.

En analyse, une série entière convergente définit une fonction à valeurs réelles ou complexes. Les séries formelles peuvent également être vues comme des fonctions dont les ensembles de départ et d'arrivée sont à manier avec précaution. Si f = ∑a_n Xⁿ est un élément de R[[X]], S une algèbre commutative et associative sur R, I un idéal de S tel que la topologie I-adique sur S soit complète, et x un élément de I, alors il est possible de définir :

${\displaystyle f(x)=\sum _{n\geq 0}a_{n}x^{n}.}$

Cette série converge dans S grâce à l'hypothèse sur x. De plus :

${\displaystyle (f+g)(x)=f(x)+g(x)}$

et

${\displaystyle (fg)(x)=f(x)g(x).}$

Toutefois, ces formules ne sont pas des définitions et doivent être démontrées.

Puisque la topologie sur R[[X]] est la topologie (X)-adique et que R[[X]] est complet, il est possible d'appliquer une série formelle à une autre série formelle, à condition que les arguments n'aient pas de coefficient constant : f(0), f(X² – X) et f((1 – X)⁻¹ – 1) sont bien définis pour toute série formelle f ∈ R[[X]].

Avec ce formalisme, nous pouvons donner une formule explicite pour l'inverse (au sens multiplicatif) d'une série formelle f dont le coefficient constant a = f(0) est inversible dans R :

${\displaystyle f^{-1}=\sum _{n\geq 0}a^{-n-1}(a-f)^{n}.}$

Si la série formelle g avec g(0) = 0 est donnée implicitement par l'équation

${\displaystyle f(g)=X}$

où f est une série entière connue vérifiant f(0) = 0, alors les coefficients de g peuvent être calculés explicitement en utilisant le théorème d'inversion de Lagrange.

Si f = ∑ a_n X_n est un élément de R[[X]], on définit sa dérivée formelle en utilisant l'opérateur D défini par

${\displaystyle Df=\sum _{n\geq 1}a_{n}nX^{n-1}.}$

Cette opération est R-linéaire :

${\displaystyle D(af+bg)=aDf+bDg}$

pour a, b dans R et f, g dans R[[X]].

Beaucoup de propriétés de la dérivation classique des fonctions sont valables pour la dérivation des séries formelles. Par exemple, la règle de dérivation d'un produit est valable :

${\displaystyle D(fg)=f(Dg)+(Df)g}$

ainsi que la règle de dérivation d'une composée :

${\displaystyle D(f(u))=(Df)(u)Du.}$

Dans un certain sens, toutes les séries formelles sont des séries de Taylor, car si f = ∑a_n Xⁿ, en écrivant D_k comme la k-ième dérivée formelle, on trouve que

${\displaystyle (D_{k}f)(0)=k!a_{k}.}$

On peut également définir la dérivation pour des séries formelles de Laurent d'une façon naturelle, et dans ce cas, la règle du quotient, en plus des règles énumérées ci-dessus, sera également valable.

La façon la plus rapide de définir l'anneau R[[X₁, … , X_r]] des séries formelles sur R en r variables commence avec l'anneau S = R[X₁, … , X_r] des polynômes sur R. Soit I l'idéal de S engendré par X₁, … , X_r ; considérons alors la topologie I-adique sur S et complétons-la (en). Le résultat de cette complétion est un anneau topologique complet contenant S et qui est noté R[[X₁, … , X_r]].

Pour n = (n₁, … , n_r) ∈ N^r, on écrit Xⁿ = X₁^n₁ … X_r^n_r. Alors chaque élément de R[[X₁, … , X_r]] s'écrit de manière unique comme une somme de la façon suivante :

${\displaystyle \sum _{\mathbf {n} \in \mathbb {N} ^{r}}a_{\mathbf {n} }\mathbf {X^{n}} .}$

Ces sommes convergent pour n'importe quel choix des coefficients a_n ∈ R et l'ordre dans lequel les éléments sont sommés n'a pas d'importance.

La topologie sur R[[X₁, … , X_r]] est la topologie J-adique, où J est l'idéal de R[[X₁, … , X_r]] engendré par X₁, … , X_r (i.e. J est constitué des séries dont le coefficient constant est nul).

Puisque R[[X₁, … , X_r]] est un anneau commutatif, on peut définir son anneau des séries formelles, noté R[[X₁, … , X_r]]. Cet anneau est naturellement isomorphe à l'anneau R[[X₁, … , X_r]] défini prédemment, mais ces anneaux sont topologiquement différents.

Si R est principal alors R[[X₁, … , X_r]] est factoriel.

Comme pour les séries formelles à une variable, on peut « appliquer » une série formelle à plusieurs variables à une autre série formelle à condition que son coefficient constant a_(0,…,0) soit nul. Il est aussi possible de définir des dérivées partielles de ces séries formelles. Les dérivées partielles commutent comme elles le font pour des fonctions continument différentiables.

L'anneau des séries formelles R[[X₁, … , X_r]] possède la propriété universelle suivante :

• si S est une R-algèbre commutative,
• si I est un idéal de S tel que S soit complet pour la topologie I-adique et
• si x₁, … , x_r sont des éléments de I,

alors il existe une unique application Φ : R[[X₁, … , X_r]] → S vérifiant

• Φ est un morphisme de R-algèbres,
• Φ est continue et
• Φ(X_i) = x_i pour tout i = 1, … , r.

Soit G un groupe abélien totalement ordonné.

On peut alors construire l'ensemble R((G)) des sommes

${\displaystyle \sum _{i\in I}a_{i}X^{i}}$

portant sur des sous-ensembles bien ordonnés I de G et où les a_i sont des éléments de R. Une telle somme est nulle si tous les a_i sont nuls. Plus formellement, ce sont les applications de G dans R à support bien ordonné.

Alors R((G)) est un anneau commutatif appelé l'anneau des séries formelles généralisées sur G. La condition que les sommes portent sur des sous-ensembles bien ordonnés I assure que le produit est bien défini.

Si R est un corps et si G est le groupe des entiers relatifs, on retrouve les séries formelles de Laurent.

Diverses propriétés de R peuvent se transférer à R((G)).

Si R est un corps, il en est de même de R((G)).

Si R est un corps ordonné, on peut définir sur R((G)) une relation d'ordre en affectant à chaque série le signe de son coefficient dominant : le coefficient associé au plus petit i tel que a_i soit non nul.

Si G est un groupe divisible et R un corps réel clos alors il en est de même de R((G))

Enfin, si G est un groupe divisible et R un corps algébriquement clos alors il en est de même de R((G))

Cette théorie a été développée par le mathématicien autrichien Hans Hahn.