Formule du binôme généralisée

Pour tous nombres complexes r, x et y tels que ${\displaystyle \left|y\right|<\left|x\right|}$,

${\displaystyle (x+y)^{r}=\sum _{k=0}^{\infty }{r \choose k}x^{r-k}y^{k}}$

ou encore : pour tous nombres complexes r et z tels que |z| < 1,

${\displaystyle (1+z)^{r}=\sum _{k=0}^{\infty }{r \choose k}z^{k}}$,

série convergente dans laquelle, pour tout entier naturel k, le coefficient de z^k est le coefficient binomial généralisé

${\displaystyle {r \choose k}={\frac {r(r-1)(r-2)\cdots (r-k+1)}{k!}}={\frac {(r)_{k}}{k!}}}$,

quotient par k! du symbole de Pochhammer (r)_k pour les factorielles décroissantes (en particulier, ${\displaystyle {r \choose 0}={\frac {(r)_{0}}{0!}}}$ est égal à 1, comme quotient de deux produits vides).

La formule du binôme de Newton est le cas particulier ${\displaystyle r\in \mathbb {N} }$ et la formule du binôme négatif est le cas particulier ${\displaystyle r\in -\mathbb {N} }$.

La première formule reste valide pour des éléments x et y d'une algèbre de Banach, qui commutent (xy = yx) et tels que x soit inversible et ║y/x║ < 1.

La (branche principale de la) fonction ${\displaystyle z\mapsto (1+z)^{r}}$ est holomorphe sur le disque de centre 0 et de rayon 1 et sa dérivée (complexe) k-ième en 0 est égale à (r)_k. Elle est donc développable en série entière sur ce disque selon la seconde formule.