Formule du binôme négatif

Pour tout entier naturel ${\displaystyle r}$, on a :

${\displaystyle {\frac {1}{(1-x)^{r+1}}}=\sum _{k=r}^{+\infty }{k \choose r}x^{k-r}}$

où ${\displaystyle {k \choose r}}$ est un coefficient binomial.

Cette égalité est vraie au sens des séries formelles (${\displaystyle x}$ étant une indéterminée), ou au sens des fonctions définies sur le disque unité ouvert du plan complexe (${\displaystyle x}$ étant un nombre complexe de module strictement inférieur à 1) ou de la boule unité ouverte de toute autre algèbre de Banach.

Elle peut aussi s'écrire :

${\displaystyle \forall r\in \mathbb {N} \quad (1-x)^{-(r+1)}=\sum _{j=0}^{+\infty }{r+j \choose j}x^{j}}$

ou encore :

${\displaystyle \forall n\in \mathbb {N} ^{*}\quad (1-x)^{-n}=\sum _{j=0}^{+\infty }{n+j-1 \choose j}x^{j}}$,

soit, en posant ${\displaystyle z=-x}$ et en utilisant les coefficients binomiaux généralisés aux nombres négatifs

${\displaystyle {-n \choose j}:={n+j-1 \choose j}(-1)^{j}}$ :

${\displaystyle \forall n\in \mathbb {N} ^{*}\quad (1+z)^{-n}=\sum _{j=0}^{+\infty }{-n \choose j}z^{j}}$.

La formule ci-dessus est le cas particulier ${\displaystyle r=-n\in -\mathbb {N} ^{*}}$ de la formule du binôme généralisée, valide pour tout r réel et pour complexe z de module strictement inférieur à 1 :

${\displaystyle \quad (1+z)^{r}=\sum _{k=0}^{\infty }{r \choose k}z^{k}}$

mais on peut aussi, de même que la formule du binôme usuelle (le cas ${\displaystyle r=n\in \mathbb {N} }$), démontrer directement la formule du binôme négatif par récurrence[1].

• Série
• Série entière
• Puissances d'une série formelle