Algèbre de Banach

On explicite cette définition : une algèbre de Banach A sur le corps K = ℝ ou ℂ est un espace vectoriel normé complet sur K (on note ${\displaystyle \|\cdot \|}$ la norme) muni d'une loi interne notée multiplicativement, telle que quels que soient x, y, z éléments de A et ${\displaystyle \alpha }$ élément de K :

• ${\displaystyle (xy)z=x(yz)}$ (associativité) ;
• ${\displaystyle x(y+z)=xy+xz}$, ${\displaystyle (y+z)x=yx+zx}$ et ${\displaystyle (\alpha x)y=x(\alpha y)=\alpha (xy)}$ (bilinéarité) ;
• ${\displaystyle \|xy\|\leq \|x\|\,\|y\|}$ (sous-multiplicativité).

On parle d'algèbre de Banach commutative quand la loi produit est commutative.

Suivant les auteurs, la structure d'algèbre exige ou non la présence d'un élément unité[1] (nécessairement unique). Les termes algèbre unitaire et algèbre non unitaire permettent de différencier les structures. Dans une algèbre de Banach unitaire non nulle, l'élément unité peut toujours être supposé de norme 1, quitte à remplacer la norme par une certaine norme équivalente.

• L'ensemble des nombres réels muni de la valeur absolue, de la somme et du produit est une algèbre de Banach réelle et unitaire. De même, l'ensemble des nombres complexes, muni du module, de la somme et du produit est une algèbre de Banach complexe et unitaire. Ces exemples sont fondamentaux.
• Si E est un espace de Banach, l'espace ℒ(E) des endomorphismes continus de E[2], muni de la composition et de la norme d'opérateurs. Si E est de dimension finie n, ℒ(E) s'identifie à l'algèbre de matrices M_n(K), munie d'une norme matricielle adéquate. M₁(K) = K (muni de la valeur absolue si K = ℝ et du module si K = ℂ).
• Dans l'algèbre ℒ(E) des opérateurs bornés d'un espace de Banach E, l'idéal K(E) des opérateurs compacts. Si E est de dimension finie — et seulement dans ce cas — cette sous-algèbre K(E) est unitaire car égale à ℒ(E).
• Pour 1 ≤ p < ∞, l'algèbre normée des opérateurs de classe de Schatten (de) p sur un espace de Hilbert (qui sont les opérateurs à trace si p = 1 et les opérateurs de Hilbert-Schmidt (de) si p = 2) et plus généralement, celle des opérateurs nucléaires (en) d'ordre p sur un espace de Banach.
• L'algèbre ℓ^∞(X) des fonctions (à valeurs réelles ou complexes) bornées sur un ensemble X, munie de la norme de la convergence uniforme, définie par ${\displaystyle \|f\|_{\infty }=\sup _{x\in X}|f(x)|}$.
• Si X est un espace compact, la sous-algèbre C(X) de ℓ^∞(X) constituée des fonctions continues sur X (ces fonctions sont nécessairement bornées).
• Plus généralement, si X est un espace localement compact, la sous-algèbre C_b(X) = C(βX) de ℓ^∞(X) constituée des fonctions continues et bornées sur X, et la sous-algèbre C₀(X) de C_b(X) constituée des fonctions continues et nulles à l'infini. Si X est compact — et seulement dans ce cas — C₀(X) est unitaire car égale à C_b(X).
• Si G est un groupe localement compact et μ sa mesure de Haar, l'espace L¹(G) des fonctions μ-intégrables (modulo l'égalité μ-presque partout), muni du produit de convolution x∗y(g) = ∫ x(h) y(h⁻¹g) dμ(h). Elle est commutative si et seulement si G est abélien, et elle est unitaire si et seulement si G est discret.

Soit A une algèbre de Banach unitaire, d'élément unité e.