Théorème de Gelfand-Mazur

Soit x un élément non nul d'une telle algèbre, dont l'unité sera notée e.

${\displaystyle 1=\|x^{n}.x^{-n}\|\leq \|x\|^{n}\|x^{-n}\|}$

donc

${\displaystyle {\sqrt[{n}]{\|x^{-n}\|}}\geq {\frac {1}{\|x\|}},}$

ce qui démontre d'après la règle de Cauchy que le rayon de convergence de la série entière

${\displaystyle (x-ze)^{-1}=x^{-1}\sum _{n\in \mathbb {N} }z^{n}x^{-n}}$

est fini.

Or cette série converge sur tout disque de centre 0 inclus dans le domaine de définition de la fonction ${\displaystyle z\longmapsto (x-ze)^{-1}}$. Ainsi, il existe un complexe λ tel que x – λe soit non inversible et donc x = λe puisque l'algèbre étant supposée être un corps, le seul élément non inversible est 0.

Remarque.

L'existence d'un complexe λ tel que x – λe soit non inversible, c'est-à-dire d'une valeur spectrale de x, peut aussi se déduire du fait que le spectre d'un élément d'une algèbre de Banach complexe n'est jamais vide.

Mazur a annoncé en 1938[1] - [2] le théorème plus général suivant :

Toute ℝ-algèbre associative normée à division est isomorphe à ℝ, ℂ, ou ℍ.

Sa preuve – bien que très succincte[3] – était trop longue pour être acceptée par l'éditeur, mais il en transmit les détails à son élève Wiesław Żelazko (de), qui les publia en 1968[4].

C'est donc Gelfand qui donna, en 1941[5], la première preuve publiée de l'énoncé, mais sous sa forme simplifiée (pour une ℂ-algèbre complète[6]) permettant d'utiliser la théorie des fonctions holomorphes (à valeurs dans un espace de dimension infinie mais se ramenant au cas usuel par le théorème de Hahn-Banach[3]).

• Théorème de Frobenius de 1877
• Théorème de Frobenius généralisé
• Représentation de Gelfand (en)