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Algèbre normée

Une algèbre normée est une algèbre A sur le corps des réels ou des complexes munie d'une norme d'espace vectoriel qui vérifie :

En d'autres termes, il s'agit d'une algèbre sur K = R ou C telle que l'espace vectoriel sous-jacent soit normé, la norme étant en outre sous-multiplicative.

Dans une algèbre normée unifère A non nulle, l'élément unité peut toujours être supposé de norme 1, quitte à remplacer la norme par la norme équivalente d'algèbre .

Unitarisée d'une algèbre normée

Toute K-algèbre normée A est un idéal fermé de son « unitarisée » : l'algèbre normée unitaire définie par la norme et le produit suivants sur AK : (on peut remplacer cette norme par une norme équivalente d'algèbre, comme ).

L'algèbre unitarisée d'une algèbre de Banach est de Banach.

L'unitarisée d'une C*-algèbre est une C*-algèbre, pour l'involution naturelle et la norme . Par exemple, si X est un espace localement compact, l'unitarisée de la C*-algèbre commutative C0(X) des fonctions scalaires continues sur X nulles à l'infini (munie de la norme de la convergence uniforme) est l'algèbre C(X+) des fonctions continues sur son compactifié d'Alexandrov. Par exemple : l'unitarisée de C0(ℝn) est C(Sn).

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