Norme équivalente

Soient N₁ et N₂ deux normes sur un même espace vectoriel E non nul.

La définition de « N₁ est plus fine que N₂ » revient à dire que l'application linéaire identité de E est C-lipschitzienne de (E, d₁) dans (E, d₂), où les d_k sont les distances associées aux N_k. Dans cette définition, le réel C est automatiquement strictement positif (puisqu'une norme est à valeurs positives et vérifie la séparation) donc l'équivalence des deux normes se traduit par l'existence de deux réels c et C strictement positifs tels que :

${\displaystyle \forall x\in E\quad cN_{1}(x)\leq N_{2}(x)\leq CN_{1}(x)}$.

Trivialement, « est plus fine que » définit sur l'ensemble des normes sur E un préordre, dont la relation d'équivalence associée est l'équivalence de normes.

L'équivalence des normes correspond, par la définition ci-dessus, à l'équivalence au sens de Lipschitz des distances associées. Mais dans le cas de distances associées à des normes, cette notion la plus forte d'équivalence de distances équivaut à la plus faible : l'équivalence topologique. En effet :

Démonstration

Notons T_k les topologies des espaces métriques (E, d_k) et supposons que T₁ est plus fine que T₂. Alors, la boule unité ouverte pour N₂ contient une N₁-boule ouverte centrée en 0 de rayon R > 0, autrement dit :

${\displaystyle \forall y\in E,\quad N_{1}(y)<R\Rightarrow N_{2}(y)<1}$.

Par conséquent,

${\displaystyle \forall x\in E,\forall r>N_{1}(x),\quad N_{2}\left({\frac {R}{r}}x\right)<1}$,

ce qui se simplifie en

${\displaystyle \forall x\in E,N_{2}(x)\leq {\frac {1}{R}}N_{1}(x)}$

et prouve que N₁ est plus fine que N₂.

Puisque la continuité uniforme est une notion intermédiaire entre la continuité simple et la propriété de Lipschitz, l'équivalence uniforme des distances est une notion intermédiaire entre l'équivalence topologique et l'équivalence de Lipschitz. Il résulte immédiatement de la proposition 1 que pour des distances associées à des normes, ces trois notions d'équivalence coïncident, et plus précisément :

Par ailleurs, on déduit directement de la définition que si deux normes sur E sont équivalentes :

• si une suite dans E est de Cauchy (resp. convergente) pour l'une alors elle l'est pour l'autre ;
• si E est complet pour l'une alors il est complet pour l'autre ;
• si une fonction de E dans un espace métrique — ou d'un espace métrique dans E — est uniformément continue (resp. lipschitzienne) pour l'une alors elle l'est pour l'autre ;
• en particulier, chacune des deux normes est lipschitzienne de E dans ℝ lorsque E est muni de l'autre norme.

• Toutes les normes d'un espace vectoriel réel de dimension finie sont équivalentes. Il n'existe donc qu'un seul espace vectoriel normé de dimension finie n, à isomorphisme près : l'espace euclidien de dimension n. Comme un espace vectoriel complexe normé de dimension n est aussi un espace vectoriel réel normé de dimension 2n, toutes les normes d'un espace vectoriel complexe de dimension finie sont, elles aussi, équivalentes.
• Si N₁, … , N_n sont des semi-normes sur un espace vectoriel réel E alors, pour tout p ∈ [1, +∞], on peut définir une semi-norme M_p sur E en posant :${\displaystyle M_{p}(x)=\|(N_{1}(x),\ldots ,N_{n}(x))\|_{p}}$,où ║ ║_p désigne la norme p sur ℝⁿ. Si l'une des semi-normes M_p est une norme (par exemple si N₁ est une norme) alors les autres aussi, et il résulte du point précédent que toutes ces normes M_p sont équivalentes.
• D'après le théorème de Banach-Steinhaus, si un espace vectoriel réel est complet pour deux normes comparables alors ces normes sont équivalentes.
• Sur un espace vectoriel réel de dimension infinie ℝ^(X), les diverses normes induites par les inclusions de ℝ^(X) dans les espaces ℓ^p(X) pour 1 ≤ p ≤ ∞ sont deux à deux non équivalentes.

Haïm Brezis, Analyse fonctionnelle : théorie et applications [détail des éditions]

Compact de Banach-Mazur