Suite de Cauchy

Une suite ${\displaystyle (x_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ dans un espace métrique (E, d) est dite de Cauchy si :

${\displaystyle \forall \varepsilon >0\quad \exists N\in \mathbb {N} \quad \forall p\geq N\quad \forall q\geq N\quad d(x_{p},x_{q})<\varepsilon ,}$

ce qui équivaut à

${\displaystyle \forall \varepsilon >0\quad \exists N\in \mathbb {N} \quad \forall q\geq N\quad d(x_{N},x_{q})<\varepsilon ,}$

ou plus synthétiquement, si

${\displaystyle \lim _{p,q\to \infty }d(x_{p},x_{q})=0}$

ou encore[2] si le diamètre de l'ensemble des termes d'indices supérieur à n tend vers 0 quand n tend vers l'infini :

${\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }\sup _{m\geq n}d(x_{m},x_{n})=0.}$

Les suites de Cauchy de réels sont donc un cas particulier de cette définition, en prenant, comme distance sur ℝ, la valeur absolue de la différence.

Les inégalités autres que ε > 0 peuvent être prises indifféremment larges ou strictes[3].

Intuitivement, les termes de la suite deviennent de plus en plus proches les uns des autres d'une certaine façon qui suggère que la suite doit avoir une limite dans l'espace. Les suites convergentes sont effectivement de Cauchy, mais la réciproque n'est pas vraie en toute généralité. Par exemple, certaines suites de Cauchy de rationnels convergent vers un irrationnel, donc convergent dans ℝ mais pas dans ℚ.

Exemple (sans supposer connu le corps des réels) : s'inspirant de la méthode de Héron, on construit une suite décroissante de rationnels positifs x_n dont les carrés tendent vers 2 : x₀ = 3/2, x_n+1 = x_n/2 + 1/x_n. La suite (x_n²) est de Cauchy (car convergente) et minorée par 1. On en déduit facilement que la suite de rationnels (x_n) est également de Cauchy. Cependant elle n'a pas de limite rationnelle, car une telle limite ℓ devrait vérifier ℓ² = 2, or la racine carrée de 2 est irrationnelle.

C'est la raison pour laquelle un espace métrique dans lequel toute suite de Cauchy converge est dit complet. L'ensemble des réels est complet, et une construction standard de cet ensemble utilise les suites de Cauchy de rationnels.

• Dans un espace métrique, toute suite convergente est de Cauchy[1].La réciproque n'est vraie que dans un espace complet, par exemple un espace de Banach, comme un espace vectoriel réel de dimension finie, muni de la distance associée à n'importe quelle norme.
• Toute suite de Cauchy est bornée[1].
• Une suite de Cauchy a au plus une valeur d'adhérence et si elle en a une, alors elle converge[1].
• Toute sous-suite d'une suite de Cauchy est, elle-même, une suite de Cauchy.
• Toute suite de Cauchy admettant une sous-suite convergente est convergente.
• L'image d'une suite de Cauchy par une application uniformément continue est de Cauchy[1].
• Dans l'espace des suites bornées à valeurs dans un espace métrique E, muni de la distance uniforme, les suites de Cauchy forment un fermé ; si E est un espace vectoriel normé, ce fermé est un sous-espace vectoriel de l'espace des suites bornées ; si E est une algèbre normée, ce sous-espace est une sous-algèbre de l'algèbre des suites bornées[1].
• Si une suite ${\displaystyle (x_{n})}$ est de Cauchy alors ${\displaystyle d(x_{n},x_{n+1})\to 0}$. Dans un espace ultramétrique, la réciproque est vraie[4].

En analyse non standard, pour un espace métrique standard ${\displaystyle (X,d)}$, il existe une définition équivalente mais pratique de la notion de suite de Cauchy.

• Dans un espace métrique standard ${\displaystyle (X,d)}$, une suite standard x est de Cauchy si et seulement si pour tous entiers naturels non standards p et q, le réel ${\displaystyle d(x_{p},x_{q})}$ est infiniment petit :

${\displaystyle \forall p,q\in \mathbb {N} ,\;\left[p\simeq \infty \wedge q\simeq \infty \Rightarrow d(x_{p},x_{q})\simeq 0\right]}$.

En effet, si x est une suite de Cauchy, alors pour tout réel ${\displaystyle \varepsilon >0}$, il existe un entier ${\displaystyle N(\varepsilon )}$ tel que pour tous p, q>N, on a : ${\displaystyle d(x_{p},x_{q})<\varepsilon }$. Si ${\displaystyle \varepsilon }$ est un réel standard, le principe de transfert permet d'imposer à ${\displaystyle N(\varepsilon )}$ d'être un entier standard car la suite x est standard. Or tout entier naturel non standard est strictement plus grand que tout entier naturel standard. Donc, si p et q sont des entiers non standards, ils sont plus grands que tous les ${\displaystyle N(\varepsilon )}$. De suite, ${\displaystyle d(x_{p},x_{q})}$ est strictement inférieur à tous les réels standards strictement positifs ; c'est donc un infiniment petit.

Réciproquement, supposons que pour tous entiers non standards p et q, le réel ${\displaystyle d(x_{p},x_{q})}$ est un infiniment petit. Fixons dans un premier temps N un entier non standard. Tout entier plus grand que N est aussi non standard. Soit ${\displaystyle \varepsilon >0}$ un réel standard. Alors pour p et q>N, on a : ${\displaystyle d(x_{p},x_{q})<\varepsilon }$. De fait, l'assertion suivante :

${\displaystyle \exists N\in \mathbb {N} ,\;\forall p,q\in \mathbb {N} ,\;(p,q>N\Rightarrow d(x_{p},x_{q})<\varepsilon )}$

est vérifiée pour tout réel standard strictement positif ${\displaystyle \varepsilon }$. Par principe de transfert, elle est vérifiée pour tout ${\displaystyle \varepsilon >0}$, ce qui signifie exactement que x est de Cauchy.

• Jean Dieudonné, Éléments d'analyse, t. I : Fondements de l'analyse moderne [détail des éditions]
• Georges Skandalis, Topologie et analyse 3^e année, Dunod, coll. « Sciences Sup », 2001

• Critère de Cauchy pour une fonction
• Oscillation (mathématiques)

• (en) L. D. Kudryavtsev (ru), « Cauchy criteria », dans Michiel Hazewinkel, Encyclopædia of Mathematics, Springer,‎ 2002 (ISBN 978-1556080104, lire en ligne)