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Oscillation (mathématiques)

L'oscillation quantifie la tendance d'une fonction ou d'une suite Ă  varier entre des valeurs extrĂ©males. Il existe plusieurs notions d'oscillation : oscillation d'une suite de rĂ©els, oscillation d'une fonction Ă  valeurs dans un espace mĂ©trique (comme ℝ), en un point ou sur une partie de son domaine de dĂ©finition.

L'oscillation d'une suite (représentée en bleu) est la différence entre ses limites supérieure et inférieure.

DĂ©finitions

Oscillation d'une suite réelle

L'oscillation ω(a) d'une suite rĂ©elle a = (an)n est la diffĂ©rence entre ses limites supĂ©rieure et infĂ©rieure :

Elle est dĂ©finie sauf si cette diffĂ©rence est de la forme (+∞) – (+∞) ou (–∞) – (–∞), c'est-Ă -dire si la suite tend vers +∞ ou vers –∞. Elle vaut +∞ lorsque la suite n'est pas bornĂ©e. Elle est nulle lorsque la suite converge.

Oscillation d'une fonction sur une partie

Si f est une fonction Ă  valeurs rĂ©elles dĂ©finie sur un ensemble X, l'oscillation ωf(U) de f sur une partie non vide U de X est la diffĂ©rence entre les bornes supĂ©rieure et infĂ©rieure de f sur U :

Plus gĂ©nĂ©ralement, si f est Ă  valeurs dans un ensemble E muni d'une distance d, ωf(U) est le diamĂštre de l'image de U par f :

Elle est toujours dĂ©finie, et vaut +∞ lorsque la fonction n'est pas bornĂ©e sur U.

Oscillation d'une fonction en un point

Lorsque le domaine X de f est muni d'une topologie, on dĂ©finit l'oscillation ωf(a) de f en un point quelconque a de X comme la borne infĂ©rieure de ses oscillations ωf(U) quand U parcourt le filtre V(a) des voisinages de a, ou mĂȘme seulement une base W(a) de V(a) :

Si de plus f est à valeurs réelles, cette oscillation est la différence entre limites supérieure et inférieure de f en a :

On peut toujours choisir pour W(a) l'ensemble des ouverts qui contiennent a. Si l'espace topologique X est métrisable, on peut aussi choisir comme base la famille des boules (ouvertes par exemple) B(a, Δ) de centre a et de rayon Δ > 0 et vérifier que

ce qui, si l'espace métrisable X est un ensemble de réels (muni de la distance usuelle), se réécrit :

L'oscillation de f en un point a de son domaine est nulle si et seulement si f est continue en a[1].

De plus, toutes les Ă©galitĂ©s ci-dessus s'Ă©tendent au cas oĂč f n'est dĂ©finie que sur une partie Y de X Ă  laquelle a est seulement adhĂ©rent, en remplaçant le filtre V(a) des voisinages de a par celui, VY(a), de leurs intersections avec Y. L'oscillation de f en a est nulle si et seulement si le filtre image, f(VY(a)), est de Cauchy. Lorsque l'espace mĂ©trique d'arrivĂ©e E est complet, cela Ă©quivaut, Ă  nouveau, Ă  l'existence d'une limite en a pour f.

Lorsque X est métrisable et E complet, si f est continue sur le sous-espace Y, elle s'étend continûment au GΎ des points adhérents à Y en lesquels l'oscillation de f est nulle[2].

La notion d'oscillation en un point adhĂ©rent gĂ©nĂ©ralise aussi celle d'oscillation d'une suite dans ℝ Ă  toute suite dans E, vue comme fonction sur l'espace discret Y = ℕ, en considĂ©rant a = +∞, adhĂ©rent Ă  ℕ dans son compactifiĂ© d'Alexandrov X = ℕâˆȘ{+∞}.

Exemples

  • Les seules suites pĂ©riodiques d'oscillation nulle sont les suites constantes.
  • L'oscillation de la suite an = (–1)n vaut 2.
  • L'oscillation de la fonction x ↩ 1/x est infinie en 0 et nulle en tout autre Ă©lĂ©ment de ℝ.
  • Celle de la fonction sinus vaut 2 en ±∞, et 0 ailleurs.
  • Celle de x ↩ sin(1/x) vaut 2 en 0, et 0 ailleurs.

Discontinuités

L'application a ↩ ωf(a) permet de quantifier les discontinuitĂ©s de f et de les classer.

Elle est en outre semi-continue supĂ©rieurement, donc l'ensemble Δ(f) des points de discontinuitĂ© de f est un Fσ, comme rĂ©union des fermĂ©s Δn(f) = {a ∈ X | ωf(a) ≄ 1/n}. Par passage au complĂ©mentaire, l'ensemble des points de continuitĂ© de f est un GÎŽ, intersection dĂ©nombrable des ouverts {a ∈ X | ωf(a) , 1/n}.

Cela fournit aussi une preuve trĂšs rapide de l'une des deux directions du critĂšre de Lebesgue pour l'intĂ©grabilitĂ© de Riemann[3], Ă  savoir : si Δ(f) n'est pas Lebesgue-nĂ©gligeable, alors f n'est pas Riemann-intĂ©grable, puisque I+(f) – I–(f) ≄ λ(Δn(f))/n.

Notes et références

  1. (en) William F. Trench, Introduction to Real Analysis, (1re Ă©d. 2003, Prentice Hall/Pearson Education), 574 p. (ISBN 978-0-13-045786-8, lire en ligne), p. 172, Theorem 3.5.2.
  2. (en) Stephen Willard, General Topology, Dover, (1re Ă©d. 1970) (lire en ligne), p. 177.
  3. Trench 2010, p. 171-177, § 3.5 : « A More Advanced Look at the Existence of the Proper Riemann Integral Â».

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