Oscillation (mathématiques)
L'oscillation quantifie la tendance d'une fonction ou d'une suite Ă varier entre des valeurs extrĂ©males. Il existe plusieurs notions d'oscillation : oscillation d'une suite de rĂ©els, oscillation d'une fonction Ă valeurs dans un espace mĂ©trique (comme â), en un point ou sur une partie de son domaine de dĂ©finition.
DĂ©finitions
Oscillation d'une suite réelle
L'oscillation Ï(a) d'une suite rĂ©elle a = (an)n est la diffĂ©rence entre ses limites supĂ©rieure et infĂ©rieure :
Elle est dĂ©finie sauf si cette diffĂ©rence est de la forme (+â) â (+â) ou (ââ) â (ââ), c'est-Ă -dire si la suite tend vers +â ou vers ââ. Elle vaut +â lorsque la suite n'est pas bornĂ©e. Elle est nulle lorsque la suite converge.
Oscillation d'une fonction sur une partie
Si f est une fonction Ă valeurs rĂ©elles dĂ©finie sur un ensemble X, l'oscillation Ïf(U) de f sur une partie non vide U de X est la diffĂ©rence entre les bornes supĂ©rieure et infĂ©rieure de f sur U :
Plus gĂ©nĂ©ralement, si f est Ă valeurs dans un ensemble E muni d'une distance d, Ïf(U) est le diamĂštre de l'image de U par f :
Elle est toujours dĂ©finie, et vaut +â lorsque la fonction n'est pas bornĂ©e sur U.
Oscillation d'une fonction en un point
Lorsque le domaine X de f est muni d'une topologie, on dĂ©finit l'oscillation Ïf(a) de f en un point quelconque a de X comme la borne infĂ©rieure de ses oscillations Ïf(U) quand U parcourt le filtre V(a) des voisinages de a, ou mĂȘme seulement une base W(a) de V(a) :
Si de plus f est à valeurs réelles, cette oscillation est la différence entre limites supérieure et inférieure de f en a :
On peut toujours choisir pour W(a) l'ensemble des ouverts qui contiennent a. Si l'espace topologique X est métrisable, on peut aussi choisir comme base la famille des boules (ouvertes par exemple) B(a, Δ) de centre a et de rayon Δ > 0 et vérifier que
ce qui, si l'espace métrisable X est un ensemble de réels (muni de la distance usuelle), se réécrit :
L'oscillation de f en un point a de son domaine est nulle si et seulement si f est continue en a[1].
De plus, toutes les Ă©galitĂ©s ci-dessus s'Ă©tendent au cas oĂč f n'est dĂ©finie que sur une partie Y de X Ă laquelle a est seulement adhĂ©rent, en remplaçant le filtre V(a) des voisinages de a par celui, VY(a), de leurs intersections avec Y. L'oscillation de f en a est nulle si et seulement si le filtre image, f(VY(a)), est de Cauchy. Lorsque l'espace mĂ©trique d'arrivĂ©e E est complet, cela Ă©quivaut, Ă nouveau, Ă l'existence d'une limite en a pour f.
Lorsque X est métrisable et E complet, si f est continue sur le sous-espace Y, elle s'étend continûment au GΎ des points adhérents à Y en lesquels l'oscillation de f est nulle[2].
La notion d'oscillation en un point adhĂ©rent gĂ©nĂ©ralise aussi celle d'oscillation d'une suite dans â Ă toute suite dans E, vue comme fonction sur l'espace discret Y = â, en considĂ©rant a = +â, adhĂ©rent Ă â dans son compactifiĂ© d'Alexandrov X = ââȘ{+â}.
Exemples
- Les seules suites périodiques d'oscillation nulle sont les suites constantes.
- L'oscillation de la suite an = (â1)n vaut 2.
- L'oscillation de la fonction x ⊠1/x est infinie en 0 et nulle en tout autre Ă©lĂ©ment de â.
- Celle de la fonction sinus vaut 2 en 屉, et 0 ailleurs.
- Celle de x ⊠sin(1/x) vaut 2 en 0, et 0 ailleurs.
Discontinuités
L'application a ⊠Ïf(a) permet de quantifier les discontinuitĂ©s de f et de les classer.
Elle est en outre semi-continue supĂ©rieurement, donc l'ensemble Î(f) des points de discontinuitĂ© de f est un FÏ, comme rĂ©union des fermĂ©s În(f) = {a â X | Ïf(a) â„ 1/n}. Par passage au complĂ©mentaire, l'ensemble des points de continuitĂ© de f est un GÎŽ, intersection dĂ©nombrable des ouverts {a â X | Ïf(a) , 1/n}.
Cela fournit aussi une preuve trĂšs rapide de l'une des deux directions du critĂšre de Lebesgue pour l'intĂ©grabilitĂ© de Riemann[3], Ă savoir : si Î(f) n'est pas Lebesgue-nĂ©gligeable, alors f n'est pas Riemann-intĂ©grable, puisque I+(f) â Iâ(f) ℠λ(În(f))/n.
Notes et références
- (en) William F. Trench, Introduction to Real Analysis, (1re Ă©d. 2003, Prentice Hall/Pearson Education), 574 p. (ISBN 978-0-13-045786-8, lire en ligne), p. 172, Theorem 3.5.2.
- (en) Stephen Willard, General Topology, Dover, (1re Ă©d. 1970) (lire en ligne), p. 177.
- Trench 2010, p. 171-177, § 3.5 : « A More Advanced Look at the Existence of the Proper Riemann Integral ».
- (en) Edwin Hewitt et Karl Stromberg, Real and Abstract Analysis, Springer, , p. 78
- (en) John C. Oxtoby, Measure and Category, Springer, coll. « GTM » (no 2), , 4e Ă©d., 124 p. (ISBN 978-0-387-90508-2), p. 31â35
- (en) C. C. Pugh, Real Mathematical Analysis, Springer, , 440 p. (ISBN 978-0-387-95297-0, lire en ligne), p. 164-165
- (en) Cet article est partiellement ou en totalitĂ© issu de lâarticle de WikipĂ©dia en anglais intitulĂ© « Oscillation (mathematics) » (voir la liste des auteurs).