Ensemble Fσ
En mathématiques et, en particulier, en topologie, un ensemble Fσ (lire « F sigma ») est une union dénombrable d'ensembles fermés.
La notation introduite par Felix Hausdorff vient du français, le F désignant un fermé et le σ désignant une somme ou une union[1]. La notation Fσ est équivalente à celle de utilisée dans la hiérarchie de Borel.
Propriétés
- L'union dénombrable d'ensembles Fσ est un ensemble Fσ et l'intersection finie d'ensembles Fσ est un ensemble Fσ.
- Le complémentaire d'un ensemble Fσ est un ensemble Gδ[1].
Exemples
- Chaque ensemble fermé est un ensemble Fσ.
- L'ensemble des rationnels est un ensemble Fσ dans l'ensemble des réels muni de sa topologie usuelle. En revanche, l'ensemble des irrationnels n'est pas un ensemble Fσ dans l'ensemble des réels muni de sa topologie usuelle.
- Dans un espace métrisable, chaque ensemble ouvert est un ensemble Fσ[2].
- Dans un espace T1, chaque ensemble dénombrable est un Fσ car un point constitue un ensemble fermé.
- L'ensemble de tous les points du plan cartésien tels que est rationnel est un ensemble Fσ parce qu'il peut s'exprimer comme l'union dénombrable de toutes les droites passant par l'origine avec une pente rationnelle :
- où est l'ensemble des rationnels, qui est un ensemble dénombrable.
Voir aussi
- Ensemble Gδ — la notion duale d'un ensemble Fσ
- Hiérarchie de Borel
- P-espace (en), tout espace au sens de Gillman–Henriksen ayant la propriété que tout ensemble Fσ est fermé
Références
- (en) Elias M. Stein et Rami Shakarchi, Real Analysis : Measure Theory, Integration, and Hilbert Spaces, Princeton University Press, , 424 p. (ISBN 978-1-4008-3556-0, lire en ligne), p. 23
- (en) Charalambos D. Aliprantis et Kim Border, Infinite Dimensional Analysis : A Hitchhiker's Guide, Berlin, Heidelberg, Springer Verlag, (ISBN 978-3-540-29587-7, lire en ligne), p. 138
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