Fonction périodique

La fonction sinus est périodique de période 2π.

Une fonction ${\displaystyle f}$ définie sur un ensemble ${\displaystyle {\mathcal {D}}\subset \mathbb {R} }$ de nombres réels est dite périodique de période ${\displaystyle t\in \mathbb {R} ^{*}}$ (ou ${\displaystyle t}$-périodique) si

${\displaystyle \forall x\in {\mathcal {D}},\ x+t\in {\mathcal {D}}\quad \mathrm {et} \quad f(x+t)=f(x).}$

[réf. nécessaire]

Lorsqu'une fonction est périodique, son graphe reproduit de façon répétitive n’importe quelle portion particulière de longueur une période : c'est une propriété d'invariance par translation.

Par exemple, la fonction partie fractionnaire ${\displaystyle f}$ qui associe à un nombre réel sa partie fractionnaire définie par

${\displaystyle \forall x\in \mathbb {R} ,\ f(x)=x-\lfloor x\rfloor }$

Ici, ${\displaystyle \lfloor x\rfloor }$ désigne la partie entière de ${\displaystyle x}$. La fonction ${\displaystyle f}$ est périodique et de période 1. Ainsi nous avons

${\displaystyle f(0{,}5)=f(1{,}5)=f(2{,}5)=\ldots =0{,}5}$

Si une fonction ${\displaystyle f}$ est périodique de période ${\displaystyle t}$ alors pour tout ${\displaystyle x}$ appartenant à l'ensemble de définition de ${\displaystyle f}$ et pour tout entier naturel ${\displaystyle n}$ :

${\displaystyle f(x+nt)=f(x)}$

Ce résultat se démontre par récurrence.

Dans l'exemple précédent, la fonction étant de période 1, nous avons pour tout réel ${\displaystyle x}$

${\displaystyle f(x)=f(x+1)=f(x+2)\ldots }$

Pour toute fonction définie sur ${\displaystyle \mathbb {R} }$, l’ensemble des ${\displaystyle t\in \mathbb {R} }$ tels que ${\displaystyle \forall x\in \mathbb {R} ,f(x+t)=f(x)}$est un sous-groupe additif de ${\displaystyle \mathbb {R} }$ appelé groupe des périodes de ${\displaystyle f}$. Lorsque ce groupe est réduit à ${\displaystyle \{0\}}$, la fonction est dite apériodique.

Lorsque ${\displaystyle f}$ périodique est continue, ce groupe est fermé dans ${\displaystyle \mathbb {R} }$. Dans ce cas, soit ce groupe est ${\displaystyle \mathbb {R} }$ et ${\displaystyle f}$ est constante, soit ce groupe est un sous-groupe discret de ${\displaystyle \mathbb {R} }$ : ${\displaystyle f}$ admet une plus petite période ${\displaystyle T>0}$.

Dans le cas non continu, le groupe des périodes de ${\displaystyle f}$ peut être un sous-groupe dense de ${\displaystyle \mathbb {R} }$ : on ne peut plus alors parler de « plus petite période strictement positive ». Par exemple, les périodes de la fonction indicatrice de ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ sont les rationnels qui sont denses dans ${\displaystyle \mathbb {R} }$.

Les fonctions sinus et cosinus sont périodiques et de période 2π.

La théorie des séries de Fourier cherche à écrire une fonction périodique arbitraire comme une somme de fonctions trigonométriques.

En physique, un mouvement périodique est un mouvement dans lequel la position (ou les positions) d'un système sont exprimables à l'aide de fonctions périodiques du temps, ayant toutes la même période.

• Fréquence
• Fonction presque périodique
• Fonction elliptique (définie sur le plan complexe et doublement périodique)
• Application équivariante