Inégalité de Wirtinger

Soient a, b deux réels tels que a<b, et f une fonction continue et de classe C¹ par morceaux sur [a, b], à valeurs complexes.

Si l'intégrale de f entre a et b est nulle et si f(b)=f(a) alors la majoration suivante, dite inégalité de Wirtinger est vérifiée :

${\displaystyle \int _{a}^{b}|f(t)|^{2}dt\leq \left({\frac {b-a}{2\pi }}\right)^{2}\int _{a}^{b}|f'(t)|^{2}dt}$

Le seul cas d'égalité est celui où il existe deux nombres complexes α et β tels que :

${\displaystyle \forall t\in [a,b]\quad f(t)=\alpha \cos(\omega t)+\beta \sin(\omega t)\quad {\text{avec}}\quad \omega ={\frac {2\pi }{b-a}}}$

Il existe de nombreuses manières de démontrer ce résultat ; la plus simple utilise la théorie des séries de Fourier[2]. Quitte à effectuer un changement de variable affine convenable, on peut limiter la démonstration au cas a = 0 et b = 2π.

D'après les hypothèses, f et sa dérivée appartiennent toutes deux à l'espace de Hilbert L²([0, 2π]) des fonctions dont le module au carré est intégrable sur [0, 2π]. L'égalité de Parseval donne donc :

${\displaystyle {\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }|f(t)|^{2}dt=\|f\|^{2}=\sum _{n\in \mathbb {Z} }|c_{n}|^{2}\qquad {\text{et}}\qquad {\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }|f'(t)|^{2}dt=\|f'\|^{2}=\sum _{n\in \mathbb {Z} }|d_{n}|^{2},}$

avec

${\displaystyle c_{n}={\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }f(t)e^{-int}dt\quad {\text{et}}\quad d_{n}={\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }f'(t)e^{-int}dt,\quad {\text{en particulier}}\quad c_{0}=d_{0}=0.}$

De plus, une intégration par parties montre que :

${\displaystyle d_{n}={\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }f'(t)e^{-int}dt={\frac {1}{2\pi }}{\Big [}f(t)e^{-int}{\Big ]}_{0}^{2\pi }+{\frac {in}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }f(t)e^{-int}dt=inc_{n}.}$

On en déduit donc :

${\displaystyle \int _{0}^{2\pi }|f'(t)|^{2}dt=2\pi \sum _{n\in \mathbb {Z} ^{*}}|nc_{n}|^{2}\geq 2\pi \sum _{n\in \mathbb {Z} ^{*}}|c_{n}|^{2}=\int _{0}^{2\pi }|f(t)|^{2}dt}$

et l'inégalité est stricte, sauf si les c_n sont nuls pour tout n différent de 1 et de -1.