Fonction presque périodique

Les fonctions presque périodiques sont, intuitivement, des fonctions f (continues) pour lesquelles, en choisissant des « périodes » T de plus en plus grandes, on a une périodicité approximative de plus en plus précise, c'est-à-dire que (pour tout x) l'écart f(x + T) − f(x) peut être rendu arbitrairement petit. Mais la définition formelle correspondante, à savoir : quel que soit ε > 0, il existe un nombre réel non nul T tel que ${\displaystyle \sup _{t\in \mathbb {R} }|f(t+T)-f(t)|\leq \varepsilon }$, est en fait insuffisante à capturer cette idée, puisque cette propriété est vérifiée par toutes les fonctions uniformément continues.

En 1923, Harald Bohr a proposé les définitions suivantes[1] :

Soit ${\displaystyle f:\mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {C} }$ une fonction et soit ε un réel fixé > 0. Un nombre réel non nul T est appelé une ε-presque période de f si :

${\displaystyle \sup _{t\in \mathbb {R} }|f(t+T)-f(t)|\leq \varepsilon .}$

On note E(f, ε) l'ensemble des ε-presque périodes de f. On dit alors qu'une fonction f est presque périodique (au sens de Bohr) si elle est continue et si l'ensemble E(f, ε) est bien réparti pour tout ε > 0, c'est-à-dire que pour tout ε > 0, il existe un réel ℓ > 0, dépendant de ε, tel que tout intervalle de longueur ℓ a une intersection non vide avec E(f, ε) :

${\displaystyle \forall a\in \mathbb {R} ,~[a\,,\,a+\ell [\,\cap \,E(f,\varepsilon )\neq \varnothing .}$

[0, ℓ] est appelé intervalle d'inclusion.

• Une fonction périodique et continue est presque périodique.
• La fonction ${\displaystyle \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\ t\mapsto \sin t+\sin {\sqrt {2}}t}$ est presque périodique bien qu'elle ne soit pas périodique[2].
• Toute fonction presque périodique est bornée.
• Toute fonction presque périodique est uniformément continue.
• Si f et g sont deux fonctions presque périodiques, alors les fonctions f + g et fg le sont aussi ; contrairement aux apparences, ce résultat n'est pas trivial, comme on peut le voir dans la boîte déroulante ci-dessous.

Démonstration de ces résultats

La démonstration de la presque périodicité de f + g n'est pas triviale. Elle repose sur plusieurs propriétés.

• Si f est ε-presque périodique de période T, alors f est ε'-presque périodique de période T dès que ε' > ε. (C'est évident.)
• Toute fonction presque périodique est bornée. Cela résulte de l'existence de l'intervalle d'inclusion.
• Si f est presque périodique, alors f² et |f|² sont presque périodiques.
  En effet, si M est le maximum de f sur l'intervalle d'inclusion [0, ℓ], on a |f(x)| ≤ M + ε et par conséquent ${\displaystyle |f^{2}(x+T)-f^{2}(x)|=|f(x+T)+f(x)|\times |f(x+T)-f(x)|\leq 2(M+\varepsilon )\varepsilon =\varepsilon '}$ donc f² est ε'-presque périodique de période T.
• Toute fonction presque périodique est uniformément continue sur ]–∞, +∞[.
• Si f est ε-presque périodique de période T, alors, parmi les 2ε-presque-périodes de f, il existe un ensemble composé uniquement de multiples d'un même nombre η. Une telle presque-période se trouve dans tout intervalle de longueur ℓ ' = ℓ + 2η.

Soit η tel que l'oscillation de f dans un intervalle η soit inférieure à ε et soit T' le multiple de η le plus voisin d'une ε-presque-période T. On a ainsi

${\displaystyle |T'-T|\leq \eta }$ ${\displaystyle |f(x+T')-f(x+T)|\leq \varepsilon }$ ${\displaystyle |f(x+T)-f(x)|\leq \varepsilon }$ donc ${\displaystyle f(x+T')-f(x)|\leq 2\varepsilon .}$.

Supposons que f et g soient ε-presque périodiques et soient η1 et η2 tels que l'oscillation de f dans un intervalle η1 soit inférieure à ε et de même pour g. Soit η le plus petit des deux nombres η1 et η2 Il existe donc deux nombres ℓ1 et ℓ2 tels que tout intervalle de longueur ℓ1 contienne une 2ε-presque période de f et de même pour ℓ2 et g. Soit L plus grand que max(ℓ1, ℓ2). Alors tout intervalle de longueur L contient au moins une presque période T1 de f et une presque période T2 de g qui sont toutes les deux des multiples de η.

Dans un intervalle de longueur L, les écarts |T1 – T2| des presque-périodes précédentes ne prennent qu'un nombre fini de valeurs différentes et forment ainsi autant de classes d'équivalence. Chaque classe est ainsi caractérisée par un unique couple. Soit L1 le maximum du module des T1 qui figurent dans ces couples. Il n'y en a qu'un nombre fini.

• f et g admettent une 4ε-presque période commune dans tout intervalle de longueur L + 2L1.

Soit pour cela x un nombre quelconque, T3 et T4 deux presque périodes de f et g respectivement situées dans [x + L1, x + L + L1]. Soient T et T' les représentants de la classe du couple (T3, T4). On a donc |T – T'| = |T3 – T4| donc T ± T3 = T' ± T4 = τ.

On a ainsi les inégalités (*) ${\displaystyle |f(x+\tau )-f(x)|\leq |f(x+T\pm T3)-f(x+T)|+|f(x+T)-f(x)|\leq 4\varepsilon }$ et (**) ${\displaystyle |g(x+\tau )-g(x)|\leq |g(x+T'\pm T4)-g(x+T')|+|g(x+T')-g(x)|\leq 4\varepsilon .}$

• f + g est une fonction 8ε-presque périodique et tout intervalle de longueur L + 2L1 contient une presque-période.

On utilise les inégalités (*) et (**) qui montrent la presque périodicité:

${\displaystyle |f(x+\tau )+g(x+\tau )-f(x)-g(x)|\leq |f(x+\tau )-f(x)|+|g(x+\tau )-g(x)|\leq 8\varepsilon .}$

• Si f et g sont presque périodiques, fg l'est également.

On a montré que si f est presque périodique, alors f² l'est aussi. On utilise ensuite l'identité

${\displaystyle fg={\frac {1}{4}}(f+g)^{2}-{\frac {1}{4}}(f-g)^{2}}$ et comme l'addition conserve la presque périodicité, on a le résultat.

• Si f est une fonction presque périodique et F est une fonction uniformément continue, alors F∘f est une fonction presque périodique. Ce résultat se généralise à plusieurs variables à condition que F soit uniformément continue en chaque variable.
• Si une suite de fonctions presque périodiques converge uniformément vers une fonction f, alors f est presque périodique.
• Si f est une fonction presque périodique dérivable, sa dérivée f ' est presque périodique si elle est uniformément continue sur ℝ.
• Une primitive d'une fonction presque périodique est presque périodique si et seulement si elle est bornée.

Le premier grand résultat de la théorie est :

• Toute fonction presque périodique admet une valeur moyenne${\displaystyle M(f)=\lim _{T\rightarrow \infty }{{\frac {1}{T}}\int _{a}^{a+T}{f(u)~{\rm {d}}u}},}$résultat dont on déduit le second résultat de la théorie qui concerne la représentation en série de Fourier généralisée :
• Toute fonction f presque périodique s'écrit${\displaystyle f(t)=\sum _{n=1}^{\infty }{a_{n}{\rm {e}}^{{\rm {i}}\lambda _{n}t}}.}$formule dans laquelle λ_n est une suite de nombres réels jouant le rôle de fréquence de Fourier, les a_n étant les coefficients de Fourier de la série et l'on a une inégalité du genre inégalité de Bessel :

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{|a_{n}|^{2}}\leq M(|f|^{2}).}$

Puis on démontre :

Autrement dit : toute fonction presque périodique peut être approchée uniformément par une suite de polynômes trigonométriques généralisés.

Le calcul des presque-périodes fait appel au théorème d'approximation de Dirichlet (qui se déduit du principe des tiroirs[3]) :

« Soient (a_i) une suite finie de n nombres réels quelconques et un entier q > 0, il existe un nombre t dans l'intervalle [1, qⁿ] et des entiers x_i tel que chacune des n inéquations suivantes soient satisfaites : |ta_i – x_i| ≤ 1/q. »

Calcul des presque périodes

Soit f une fonction presque périodique au sens de Bohr. f est limite uniforme d'une suite de polynômes trigonométriques. Soit ε > 0 un nombre aussi petit qu'on veut. Comme on a

${\displaystyle f(t)\approx \sum _{n=1}^{\infty }{a_{n}{\rm {e}}^{{\rm {i}}\Lambda _{n}t}},}$ il existe un N tel que le polynôme trigonométrique ${\displaystyle P(t)=\sum _{n=1}^{N}{a_{n}{\rm {e}}^{{\rm {i}}\Lambda _{n}t}}}$

approche f(t) à moins de ε/3. On a donc pour tout t

${\displaystyle |f(t)-P(t)|\leq \varepsilon /3.}$

P(t) est presque périodique au sens de Bohr puisque c'est un polynôme trigonométrique (au sens généralisé). Soit τ > 0 une η-presque période de P. On a ainsi

${\displaystyle |f(t+\tau )-f(t)|\leq |f(t+\tau )-P(t+\tau )|+|P(t+\tau )-P(t)|+|P(t)-f(t)|\leq \varepsilon /3+\eta +\varepsilon /3.}$

Donc en prenant η = ε/3, τ sera une ε-presque période pour f.

Il reste donc à calculer la η-presque période de P.

On prend donc η tel que ${\displaystyle {\frac {\eta }{\min _{1\leq n\leq N}|a_{n}|}}<1,}$ pour être assuré qu'il existe un δ < π tel que ${\displaystyle |\exp({\rm {i}}\delta )-1|={\frac {\eta }{\min _{1\leq n\leq N}|a_{n}|}}<1.}$

Alors, τ doit satisfaire aux N inégalités de la forme

${\displaystyle |\Lambda _{n}\tau |\leq \delta \mod 2\pi ,}$ où n varie de 1 à N. Et cela revient à appliquer le théorème de Dirichlet. On a

${\displaystyle |\Lambda _{n}\tau -2\pi x_{n}|\leq \delta }$ donc en divisant par 2π on obtient (on ne s'intéresse en fait qu'à τ) : ${\displaystyle |\Lambda _{n}\tau '-x_{n}|\leq {\frac {\delta }{2\pi }}\mathrm {~o{\grave {u}}~} \tau =2\pi \tau '.}$

Prenant δ/2π assez petit, on a δ/2π ≥ 1/q soit q =[2π/δ] + 1 donc on trouve, en supposant t₀ = 1, que

${\displaystyle \tau =2\pi \tau '\leq 2\pi \left(\left[{\frac {2\pi }{\delta }}\right]+1\right)^{N},}$

valeur qui majore donc la 3η-presque période de f.

On imagine fort bien que la théorie des fonctions presque périodiques d'une variable réelle se généralise aux fonctions complexes d'une variable complexe, du moins sur un axe. En fait, on l'étend à une bande avec succès (mais pas au plan tout entier, le théorème de Liouville veille !).

Une fonction f(z), continue dans la bande [a, b] est dite presque périodique si pour tout ε > 0, on peut trouver ℓ = ℓ(ε) tel que tout intervalle de longueur ℓ sur l'axe imaginaire contient un nombre iη tel que

${\displaystyle |f(z+{\rm {i}}\eta )-f(z)|\leq \varepsilon }$

pour tout z dans la bande considérée. En d'autres termes, la fonction f(x + iy) est presque périodique en y, uniformément en fonction de x, x restant dans l'intervalle [a, b].

Dans la théorie des fonctions analytiques d'une variable, le principe de Phragmén-Lindelöf, qui n'est que l'extension du principe du maximum à un ensemble non borné (bande ou secteur angulaire, ici bande), permet de montrer le résultat suivant (appelé théorème des trois droites de Doetsch (de)) :

« Soit f(z) une fonction analytique bornée dans la bande [a, b].

Soit ${\displaystyle M(x)=\sup _{y\in \mathbb {R} }|f(x+iy)|.}$

La fonction M(x) est logarithmiquement convexe dans toute bande intérieure à [a, b] :

Si a < x₁ < x < x₂ < b, on a

${\displaystyle \ln M(x)\leq {\frac {x_{2}-x}{x_{2}-x_{1}}}\ln M(x_{1})+{\frac {x-x_{1}}{x_{2}-x_{1}}}\ln M(x_{2}).}$ »

Dans la théorie des fonctions analytiques complexes presque périodiques dans une bande, on démontre, en liaison avec le principe de Phragmén-Lindelöf, que la dérivée d'une fonction analytique complexe presque périodique dans une bande [σ₁, σ₂] est elle-même presque périodique dans la même bande. De tout cela résulte qu'une fonction analytique régulière presque périodique pour une valeur σ est presque périodique dans une bande maximale [σ₁, σ₂] où elle reste bornée. En dehors de cette bande, soit elle n'est plus régulière (pôles…) soit elle n'est plus bornée, soit elle cesse d'exister. Sa série de Fourier la représente dans sa bande maximale. Si la fonction redevient presque périodique dans une autre bande, elle y admet une autre série de Fourier.

• (en) Amerio et Prouse, Almost periodic functions and Functional Equations, Van Nostrand Reinhold Company, Cincinnati, 1971.
• (en) A. S. Besicovitch, Almost periodic functions, Dover, Cambridge, 1954, [lire en ligne].
• (en) H. Bohr, Almost periodic functions, Chelsea publishing, New York, 1947.
• Jean Favard, Leçons sur les fonctions presque-périodiques, Gauthiers-Villars, Paris, 1933.
• (ru) Levitan, Pochti-periodicheskie funckii, Moscou, 1953.

Fonction quasi périodique