Sous-espace vectoriel engendré

Soit A une partie (pas nécessairement finie) d'un espace vectoriel E sur un corps commutatif K.

On note Vect(A)[2] - [3] (ou encore parfois [A][4]) l'ensemble des combinaisons linéaires de vecteurs de A. Autrement dit : un vecteur v appartient à Vect(A) si et seulement s'il existe une famille (λ_a)_a∈A de scalaires, à support fini (c'est-à-dire que l'ensemble des indices correspondant à des scalaires non nuls est fini) et telle que

${\displaystyle v=\sum _{a\in A}\lambda _{a}a.}$

On démontre que Vect(A) est un sous-espace vectoriel de E contenant A et que c'est le plus petit (pour l'inclusion), ce qui en fournit une définition équivalente. Vect(A) est donc l'intersection de tous les sous-espaces vectoriels de E contenant A.

La partie A est dite génératrice de Vect(A), ou ensemble de générateurs de Vect(A).

La définition s'étend à une famille quelconque (v_i)_i∈I de vecteurs de E (non nécessairement distincts). Le sous-espace vectoriel engendré par la famille, noté Vect((v_i)_i∈I), est le sous-espace vectoriel engendré par la partie A = {v_i | i ∈ I}. C'est donc l'ensemble de toutes les combinaisons linéaires de vecteurs de la famille :

${\displaystyle {\rm {Vect}}\left((v_{i})_{i\in I}\right)=\left\{\lambda _{i_{1}}v_{i_{1}}+\cdots +\lambda _{i_{k}}v_{i_{k}}|k\in \mathbb {N} ,i_{1},\ldots ,i_{k}\in I,\lambda _{i_{1}},\ldots ,\lambda _{i_{k}}\in K\right\}}$

où ℕ est l'ensemble des entiers naturels.

Les familles (λ_i)_i∈I de scalaires à support fini forment un K-espace vectoriel noté K^(I). Le sous-espace vectoriel engendré par la famille (v_i)_i∈I est l'image de l'application linéaire

${\displaystyle {\begin{matrix}K^{(I)}&\rightarrow &E\\(\lambda _{i})_{i\in I}&\mapsto &\sum _{i\in I}\lambda _{i}v_{i}.\end{matrix}}}$

Une base de E est une famille génératrice constituée de vecteurs linéairement indépendants. De manière équivalente, une base est une famille génératrice minimale. De toute famille génératrice peut être extraite une sous-famille qui est une base. L'argument repose soit sur une récurrence pour une famille finie, soit sur le lemme de Zorn pour une famille infinie.

• Dans l'espace vectoriel réel ℝⁿ, la base canonique est, comme toute base, un ensemble générateur.
• Dans ℝ³, un exemple d'ensemble générateur et non libre (donc qui n'est pas une base) est {(1, 2, 3), (0, 1, 2), (–1, 1/2, 3), (1, 1, 1)}.
• Le triplet des vecteurs u = (1, 0, 0), v = (1,1,0) et w = (0,1,0) = v – u n'engendre pas ℝ³ tout entier mais seulement le plan vectoriel d'équation z = 0 :${\displaystyle {\rm {Vect}}(u,v,w)={\rm {Vect}}(u,v)=\{(\lambda +\mu ,\mu ,0)~|~(\lambda ,\mu )\in \mathbb {R} ^{2}\}=\{(x,y,0)~|~(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}\}.}$
• Soit ${\displaystyle P=\{(x,y,z)\in \mathbb {R} ^{3}~|~x+y-z=0\}}$. On a${\displaystyle P=\{x(1,0,1)+y(0,1,1)~|~(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}\}={\rm {Vect}}((1,0,1),(0,1,1)).}$
• Dans l'espace K[X] des polynômes à une indéterminée sur K :
  • le sous-espace engendré par les monômes 1, X, X², … , Xⁿ est le sous-espace des polynômes de degré inférieur ou égal à n ;
  • le sous-espace engendré par les monômes X^2k pour k entier naturel est le sous-espace des polynômes de la forme P(X²).
• Dans tout espace vectoriel, le sous-espace engendré par l'ensemble vide est l'espace nul.

• Pour toute partie A et tout vecteur v d'un espace vectoriel E, on a :${\displaystyle {\rm {Vect}}(A\cup \{v\})={\rm {Vect}}(A)\Longleftrightarrow v\in {\rm {Vect}}(A).}$
• Pour tout entier naturel n, la dimension d'un espace vectoriel engendré par une famille de n vecteurs est égale à n (si et) seulement si la famille est libre.
• Pour toutes parties A et B de E, ${\displaystyle {\rm {Vect}}(A\cup B)={\rm {Vect}}(A)+{\rm {Vect}}(B).}$
• L'application Vect, de l'ensemble des parties de E dans lui-même, est un opérateur de clôture, c'est-à-dire une application :
  • croissante : si ${\displaystyle A\subset B}$, alors ${\displaystyle {\mbox{Vect}}(A)\subset {\mbox{Vect}}(B)}$ ;
  • extensive : ${\displaystyle A\subset {\mbox{Vect}}(A)}$ ;
  • idempotente : ${\displaystyle {\mbox{Vect}}({\mbox{Vect}}(A))={\mbox{Vect}}(A)}$.

Ses points fixes sont les sous-espaces vectoriels de E : ${\displaystyle {\mbox{Vect}}(A)=A}$ si et seulement si A est un sous-espace vectoriel de E.