Continuité uniforme

Le contexte typique de la définition de la continuité uniforme est celui des espaces métriques.

Soient (${\displaystyle E}$, ${\displaystyle d}$) et (${\displaystyle F}$, ${\displaystyle d'}$) deux espaces métriques. Une application ${\displaystyle f}$ : ${\displaystyle E}$ → ${\displaystyle F}$ est dite uniformément continue si :

${\displaystyle \forall \varepsilon >0\quad \exists \delta >0\quad \forall (x,y)\in E\times E\quad \left(d(x,y)\leq \delta \Rightarrow d'(f(x),f(y))\leq \varepsilon \right).}$

N.B. : la continuité « simple » de ${\displaystyle f}$ s'écrit par comparaison :

${\displaystyle \forall x\in E\quad \forall \varepsilon >0\quad \exists \delta >0\quad \forall y\in E\quad \left(d(x,y)\leq \delta \Rightarrow d'(f(x),f(y))\leq \varepsilon \right).}$

De même que pour la continuité « simple » ou la limite d'une fonction en un point, on obtient une définition équivalente de la continuité uniforme lorsqu'on remplace ci-dessus l'une des deux inégalités larges, ou les deux, par une inégalité stricte.

Le terme uniforme signifie que le choix de ${\displaystyle \delta }$ en fonction de ${\displaystyle \varepsilon }$ ne dépend pas du point considéré, il est uniforme sur ${\displaystyle E}$.

Si les espaces de départ et d'arrivée de la fonction ${\displaystyle f}$ sont des intervalles de l'ensemble des nombres réels munis de la norme valeur absolue, la définition s'écrit :

${\displaystyle \forall \varepsilon >0\quad \exists \delta >0\quad \forall (x,y)\in \mathbb {\mathbb {R} } \times \mathbb {\mathbb {R} } \quad \left(|x-y|\leq \delta \Rightarrow |f(x)-f(y)|\leq \varepsilon \right).}$

• La fonction racine carrée, de ℝ₊ dans ℝ, est uniformément continue[1].
• La fonction carré, de ℝ dans ℝ, n'est pas uniformément continue[1].

Remarque : la fonction racine carrée est 1/2-höldérienne. Plus généralement, pour 0 < a ≤ 1, toute application a-höldérienne entre espaces métriques est uniformément continue.

Toute fonction k-lipschitzienne (donc 1-höldérienne) est uniformément continue : il suffit de choisir ${\displaystyle \delta }$ tel que ${\displaystyle k\delta \leq \epsilon }$.

En particulier, toute fonction dérivable d'un intervalle réel dans ℝ et de dérivée bornée est uniformément continue.

Une application entre deux espaces métriques est dite Cauchy-continue si elle transforme toute suite de Cauchy en une suite de Cauchy. Cette notion de continuité est strictement intermédiaire entre la continuité simple et la continuité uniforme[2] - [3].

Toute application Cauchy-continue sur une partie A de E et à valeurs dans un espace complet s'étend continûment (de façon évidemment unique) à l'adhérence de A dans E[2] - [3].

Ceci permet par exemple de définir les exponentielles.

Le théorème de Heine indique que toute fonction continue d'un espace métrique dans un espace métrique est uniformément continue si l'espace de départ est compact.

En particulier, une fonction continue f de E dans un espace métrique est uniformément continue dans les cas suivants :

• E est un segment réel ;
• E = ℝ et f est périodique ;
• E = ℝⁿ et f est nulle à l'infini.

Toute application uniformément continue sur une partie A de E est Cauchy-continue donc s'étend continûment (de façon unique) à l'adhérence de A dans E, dès que l'espace d'arrivée est complet. De plus, ce prolongement hérite de la continuité uniforme. En effet, si f est continue sur E et si la restriction de f à une partie dense de E est uniformément continue, alors f est uniformément continue sur E[4].

Cette propriété est utilisée parfois pour prolonger des applications linéaires (ou multilinéaires) définies sur des espaces vectoriels normés, comme l'intégrale de Riemann.

Toute fonction continue ${\displaystyle f}$ sur un segment ${\displaystyle [a,b]}$ et à valeurs dans un espace métrique est réglée, c'est-à-dire limite uniforme de fonctions en escalier.

Autrement dit, pour tout réel ${\displaystyle \varepsilon }$ strictement positif, il existe une fonction en escalier φ sur ${\displaystyle [a,b]}$, telle que :

${\displaystyle \forall x\in [a,b]\quad d(f(x),\varphi (x))<\varepsilon .}$

On utilise pour cela le fait que ${\displaystyle f}$ est uniformément continue (théorème de Heine), et l'on découpe l'intervalle ${\displaystyle [a,b]}$ en ${\displaystyle n}$ sous-intervalles de longueur ${\displaystyle (b-a)/n}$ inférieure au ${\displaystyle \delta }$ intervenant dans la définition de l'uniforme continuité. On montre alors que la fonction φ valant, par exemple, ${\displaystyle f(a+k(b-a)/n)}$ sur chaque intervalle ${\displaystyle [a+k(b-a)/n,a+(k+1)(b-a)/n]}$ et ${\displaystyle f(b)}$ au point ${\displaystyle b}$, convient.

Soit F l'espace vectoriel des fonctions en escalier sur [a, b] et à valeurs dans un espace de Banach E. On définit l'intégrale I(φ) d'une telle fonction en escalier φ comme une somme finie :

${\displaystyle I(\varphi )=\sum _{i=0}^{n-1}(a_{i+1}-a_{i})\varphi _{i}}$

où φ est constante égale à φ_i sur l'intervalle ]a_i, a_i+1[, les a_i constituant une subdivision de [a, b].

On montre que sur F, muni de la norme de la convergence uniforme, I est lipschitzienne donc uniformément continue ; elle se prolonge donc au complété de F : l'espace des fonctions réglées de [a, b] dans E. On a défini ainsi l'intégrale de Riemann des fonctions réglées.

Soit f une fonction bornée sur [0, 1]. Considérons la suite de polynômes :

${\displaystyle P_{n}(x)=\sum _{k=0}^{n}f\left({k \over n}\right){n \choose k}x^{k}(1-x)^{n-k}.}$

Si f est continue en x, on montre que la suite (P_n(x)) converge vers f(x). Si f est continue sur [0, 1] et donc uniformément continue, on montre que la suite (P_n) converge uniformément vers f sur [0, 1]. Ce résultat constitue une version constructive du théorème d'approximation de Weierstrass.

Un espace vectoriel normé n'est pas nécessairement complet. Or la complétude se révèle une propriété importante pour l'étude d'espaces fonctionnels. Elle permet par exemple d'utiliser le théorème de Hahn-Banach ou de Banach-Steinhaus.

Il existe des techniques permettant de « compléter » un espace métrique. Appliquées à un espace vectoriel normé (cf. « Complété d'un espace vectoriel normé »), elles produisent un espace qui est non seulement un espace métrique complet mais un espace vectoriel normé complet, encore appelé espace de Banach. La propriété générale de prolongement par continuité (vue plus haut) devient alors utile pour comparer les applications linéaires continues sur E et celles sur son complété. Ces techniques sont valables en particulier pour un espace muni d'un produit scalaire.