Théorème de Banach-Steinhaus

Soit E l'espace des fonctions continues sur [0, 1] à valeurs réelles, muni de la norme ${\displaystyle \|f\|_{\infty }=\sup _{t\in [0,1]}|f(t)|}$, de sorte que E est bien un espace de Banach, et F = ℝ. Pour chaque entier naturel n, soit u_n l'opérateur défini par :

${\displaystyle u_{n}(f)=n\int _{0}^{1}f(t)dt-\sum _{k=1}^{n}f(k/n).}$

Pour toute fonction f, ${\displaystyle {u_{n}(f) \over n}}$ n'est autre que l'erreur commise dans le calcul de l'intégrale de f lorsque l'on prend une somme de Riemann correspondant à une subdivision régulière de [0, 1] en n intervalles égaux. Cette erreur est un ${\displaystyle O({\tfrac {1}{n}})}$ pour les fonctions de classe C¹ ou lipschitziennes, mais il n'en est pas de même pour les fonctions continues en général. En effet, on montre que ${\displaystyle \|u_{n}\|=2n}$, de sorte que ${\displaystyle \sup _{n\in \mathbb {N} }\|u_{n}\|=+\infty }$ et donc que le complémentaire de A est dense. Une fonction f appartenant à ce complémentaire vérifie donc ${\displaystyle \sup _{n\in \mathbb {N} }\|u_{n}(f)\|=+\infty }$, ce qui signifie que l'ensemble ${\displaystyle u_{n}(f)}$ n'est pas borné et donc que l'erreur commise ${\displaystyle {u_{n}(f) \over n}}$ n'est pas un ${\displaystyle O({\tfrac {1}{n}})}$.

Le théorème de Banach-Steinhaus donne une preuve de l'existence d'objets vérifiant telle ou telle propriété, mais cette preuve n'est pas constructive.

Si f est une fonction (disons continue) de période 2π, on note ${\displaystyle S_{n}(f)}$ la n-ième somme partielle de sa série de Fourier.

Fixons x. Pour chaque entier n, on note ${\displaystyle \mathrm {L} _{n}}$ (n-ième constante de Lebesgue) la norme de l'application ${\displaystyle f\mapsto S_{n}(f)(x)}$, vue comme forme linéaire sur l'espace des fonctions continues de période 2π muni de la norme sup.

On a ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\mathrm {L} _{n}=+\infty }$[3].

D'après le théorème de Banach-Steinhaus, il existe donc une fonction f telle que ${\displaystyle \sup _{n\in \mathbb {N} }|S_{n}(f)(x)|=+\infty .}$ La série de Fourier d'une telle fonction diverge en x.

Si l'on utilise la version forte du théorème de Banach-Steinhaus, on voit même que dans l'espace des fonctions continues 2π-périodiques muni de la topologie de la convergence uniforme, l'ensemble des fonctions dont la série de Fourier diverge en x est comaigre donc dense.

Cet argument est d'autant plus remarquable qu'il n'est pas très facile de trouver des exemples explicites.

Si E, F et G sont trois espaces vectoriels normés et si E ou F est complet, pour qu'une application bilinéaire de E×F dans G soit continue, il suffit qu'elle le soit séparément par rapport à chaque variable[4].

Un espace de Montel est tonnelé, et dans un tel espace, les parties fermées bornées et les parties compactes coïncident. Le théorème de Banach-Steinhaus, sous sa forme générale, a donc la conséquence suivante :

En particulier, soit ${\displaystyle {\mathcal {E}}^{\prime }(\Omega )}$ (resp. ${\displaystyle {\mathcal {D}}^{\prime }(\Omega )}$) l'espace des distributions à support compact (resp. l'espace des distributions) sur une variété différentiable paracompacte de dimension finie ${\displaystyle \Omega }$ (par exemple un ouvert de ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$) ; puisque l'espace ${\displaystyle {\mathcal {E}}(\Omega )}$ (resp. ${\displaystyle {\mathcal {D}}(\Omega )}$) des fonctions indéfiniment différentiables (resp. des fonctions indéfiniment différentiables à support compact) sur ${\displaystyle \Omega }$ est un espace de Montel (mais non de Baire !), les suites faiblement convergentes et les suites fortement convergentes dans ${\displaystyle {\mathcal {E}}^{\prime }(\Omega )}$ (resp. ${\displaystyle {\mathcal {D}}^{\prime }(\Omega )}$) coïncident, ce qui simplifie beaucoup l'étude de la convergence des suites de distributions (la topologie forte des distributions étant une limite projective d'espaces (DF) compliquée). En effet, pour vérifier qu'une suite de distributions ${\displaystyle (T_{i})}$ (dans ${\displaystyle {\mathcal {E}}^{\prime }(\Omega )}$ ou dans ${\displaystyle {\mathcal {D}}^{\prime }(\Omega )}$) tend vers une limite T, il suffit de vérifier que pour toute fonction test ${\displaystyle \phi }$, la suite de nombres complexes ${\displaystyle (<T_{i},\phi >)}$ tend vers ${\displaystyle <T,\phi >}$. Il n'est pas nécessaire, alors, de préciser au sens de quelle topologie ${\displaystyle (T_{i})}$ tend vers T.

La même conclusion vaut pour l'espace ${\displaystyle {\mathcal {S}}^{\prime }(\mathbb {R} ^{n})}$ des distributions tempérées sur ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$. En effet, l'espace de Schwartz ${\displaystyle {\mathcal {S}}(\mathbb {R} ^{n})}$ des fonctions déclinantes est un espace de Montel.

Soit ${\displaystyle T_{i}}$, où i est un entier ${\displaystyle \geq 1}$, une fonction positive définie sur la droite réelle, dont le support est inclus dans l'intervalle ${\displaystyle \left[0,1/i\right]}$ et dont l'intégrale entre –∞ et +∞ est égale à 1. Ce peut être par exemple la fonction définie par ${\displaystyle T_{i}(x)=i}$ pour ${\displaystyle 0\leq x\leq 1/i}$ et ${\displaystyle T_{i}(x)=0}$ ailleurs ; mais ${\displaystyle T_{i}}$ peut être également une fonction continue, ou même indéfiniment dérivable. Soit ${\displaystyle \phi \in {\mathcal {E}}(\mathbb {R} )}$. On a

${\displaystyle \left\langle T_{i},\phi \right\rangle =\int _{0}^{1/i}i\phi \left(t\right)dt=\phi \left(c_{i}\right)}$

où ${\displaystyle c_{i}\in [0,1/i]}$, d'après la première formule de la moyenne. Par conséquent, ${\displaystyle (<T_{i},\phi >)\rightarrow \phi (0)=<\delta ,\phi >}$ où ${\displaystyle \delta }$ est la distribution de Dirac. En conséquence, ${\displaystyle (T_{i})\rightarrow \delta }$ dans ${\displaystyle {\mathcal {E}}^{\prime }(\mathbb {R} )}$ (cette convergence a également lieu dans ${\displaystyle {\mathcal {D}}^{\prime }(\mathbb {R} )}$ et dans ${\displaystyle {\mathcal {S}}^{\prime }(\mathbb {R} )}$). C'est la raison pour laquelle on dit parfois, par abus de langage, que « la fonction de Dirac est la fonction qui vaut 0 en dehors de l'origine, qui vaut +∞ en ce point, et dont l'intégrale sur la droite réelle vaut 1 ».

Considérons un filtre passe-bas de fonction de transfert ${\displaystyle G_{\tau }\left(p\right)={\frac {1}{1+\tau p}}}$, où p désigne la variable de Laplace. Lorsque la constante de temps ${\displaystyle \tau }$ tend vers ${\displaystyle 0^{+}}$, ${\displaystyle G_{\tau }\left(p\right)}$ tend vers 1. On peut donc penser que pour ${\displaystyle \tau >0}$, le filtre considéré a un effet régularisant, et que lorsque ${\displaystyle \tau }$ diminue cet effet régularisant devient de moins en moins marqué jusqu'à disparaître par passage à la limite. C'est ce que montre le théorème de Banach-Steinhaus, en utilisant le fait que le produit de convolution est continu de ${\displaystyle {\mathcal {D}}_{+}^{\prime }\left(\mathbb {R} \right)\times {\mathcal {D}}_{+}^{\prime }\left(\mathbb {R} \right)}$ dans ${\displaystyle {\mathcal {D}}_{+}^{\prime }\left(\mathbb {R} \right)}$ (où ${\displaystyle {\mathcal {D}}_{+}^{\prime }\left(\mathbb {R} \right)}$ est le sous-espace de ${\displaystyle {\mathcal {D}}^{\prime }(\mathbb {R} )}$ dont les éléments sont les distributions à support positif)[9]. En effet, la réponse impulsionnelle du filtre (à savoir la transformée de Laplace inverse de ${\displaystyle G_{\tau }\left(s\right)}$) est ${\displaystyle g_{\tau }\left(t\right)=\left(1/\tau \right)e^{-t/\tau }\Upsilon \left(t\right)}$, où ${\displaystyle \Upsilon }$ est la fonction de Heaviside. Soit ${\displaystyle \phi \in {\mathcal {D}}\left(\mathbb {R} \right)}$. On a

${\displaystyle \left\langle g_{\tau },\phi \right\rangle \left(t\right)={\frac {1}{\tau }}\int _{0}^{+\infty }e^{-{\frac {t}{\tau }}}\phi \left(t\right)dt=\int _{0}^{+\infty }e^{-x}\phi \left(\tau x\right)dx.}$

Puisque ${\displaystyle \phi }$ est continue et à support compact, elle est bornée, et le théorème de convergence dominée montre que

${\displaystyle \lim \limits _{\tau \rightarrow 0^{+}}\left\langle g_{\tau },\phi \right\rangle =\phi \left(0\right)=\left\langle \delta ,\phi \right\rangle }$

d'où on déduit que ${\displaystyle g_{\tau }\rightarrow \delta }$ dans ${\displaystyle {\mathcal {D}}_{+}^{\prime }\left(\mathbb {R} \right)}$ quand ${\displaystyle \tau \rightarrow 0^{+}}$. Supposons que l'entrée du filtre soit une fonction u localement intégrable, discontinue et à support positif. Alors la sortie du filtre est la convolée ${\displaystyle y_{\tau }=g_{\tau }\star u}$. Cette fonction ${\displaystyle y_{\tau }}$ est continue[10] et, d'après ce qui précède, converge vers u dans ${\displaystyle {\mathcal {D}}_{+}^{\prime }\left(\mathbb {R} \right)}$ quand ${\displaystyle \tau \rightarrow 0^{+}}$.

Soit

${\displaystyle \Delta _{n,m}=\sum \limits _{j=-n}^{m}\delta _{(j)}}$

où ${\displaystyle \delta _{(j)}}$ est la distribution de Dirac au point j, et ${\displaystyle \phi \in {\mathcal {S}}(\mathbb {R} )}$. On a

${\displaystyle \left\langle \Delta _{n,m},\phi \right\rangle =\sum \limits _{j=-n}^{m}\phi \left(j\right).}$

Or ${\displaystyle \phi \left(j\right)=O\left(1/j^{2}\right)}$, par conséquent (d'après le résultat classique sur les séries de Riemann), ${\displaystyle \lim \limits _{n,m\rightarrow +\infty }\left\langle \Delta _{n,m},\phi \right\rangle }$ existe pour toute fonction test ${\displaystyle \phi \in {\mathcal {S}}(\mathbb {R} )}$. Il s'ensuit que la suite double ${\displaystyle (\Delta _{n,m})}$ converge dans l'espace des distributions tempérées ${\displaystyle {\mathcal {S}}^{\prime }(\mathbb {R} )}$ (muni de sa topologie forte). La limite est le peigne de Dirac (qui est donc une distribution tempérée)

${\displaystyle \Delta =\sum \limits _{j=-\infty }^{\infty }\delta _{(j)}.}$

Soit

${\displaystyle \Gamma _{N}=\sum _{n=0}^{N}a_{n}\delta ^{\left(n\right)}}$

et soit ${\displaystyle \phi \in {\mathcal {O}}(\left\{0\right\})}$ où ${\displaystyle {\mathcal {O}}(\left\{0\right\})}$ désigne l'espace des germes de fonctions analytiques dans un voisinage de 0 dans ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ; il s'agit d'un espace (DFS), qui est donc un espace de Montel, et son dual est l'espace ${\displaystyle {\mathcal {B}}(\left\{0\right\})}$ des hyperfonctions ayant pour support ${\displaystyle \left\{0\right\}}$. On a

${\displaystyle <\Gamma _{N},\phi >=\sum _{n=0}^{N}(-1)^{n}a_{n}\phi ^{(n)}(0).}$

Le développement de Taylor de ${\displaystyle \phi }$ au voisinage de 0 s'écrit

${\displaystyle \phi \left(t\right)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {\phi ^{\left(n\right)}\left(0\right)}{n!}}t^{n}}$

et par conséquent cette série entière doit être convergente avec un rayon r suffisamment petit. La suite de nombres complexes ${\displaystyle <\Gamma _{N},\phi >}$ est alors convergente si, et seulement si pour n suffisamment grand, ${\displaystyle \left\vert a_{n}\right\vert <r^{n}/n!}$. Cette condition est satisfaite pour r aussi petit que l'on veut si, et seulement si

${\displaystyle \lim .\sup {\sqrt[{n}]{n!\left\vert a_{n}\right\vert }}=0}$

qui est donc, d'après le théorème de Banach-Steinhaus, la condition nécessaire et suffisante pour que la suite ${\displaystyle (\Gamma _{N})}$ converge dans ${\displaystyle {\mathcal {B}}(\left\{0\right\})}$. On peut donc écrire

${\displaystyle {\mathcal {B}}\left(\left\{0\right\}\right)=\left\{\sum \nolimits _{n=0}^{\infty }a_{n}\delta ^{n}:a_{n}\in \mathbb {C} ,\lim .\sup {\sqrt[{n}]{n!\left\vert a_{n}\right\vert }}=0\right\}.}$