SĂ©rie de Riemann
Pour α un nombre complexe, on appelle série de Riemann la série suivante : .
La série harmonique en est un cas particulier, pour α = 1 :
Convergence
La série de Riemann de paramÚtre complexe α converge absolument si Re(α) > 1, et diverge si Re(α) †1.
En effet :
- si Re(α) †0, la série est grossiÚrement divergente ;
- la preuve de la convergence absolue pour Re(α) > 1 peut se faire par comparaison série-intégrale avec l'intégrale impropre associée :
- celle de la divergence pour α â ]0, 1] Ă©galement ;
- si α = Ï + it avec Ï â ]0, 1] et t rĂ©el non nul, il suffit d'affiner un peu la mĂ©thode.
Valeurs particuliĂšres
On sait calculer explicitement la somme de la série de Riemann pour tout α entier pair supérieur ou égal à 2. Une observation assez frappante est que ces sommes sont toutes de la forme suivante, pour p entier naturel non nul :
- , oĂč est un nombre rationnel (voir Nombre de Bernoulli).
Par exemple
En revanche, on ne sait rien concernant les valeurs prises pour α entier impair, hormis que pour α = 3, la somme, appelée constante d'Apéry, est irrationnelle (démontré par Roger Apéry en 1978).
Fonction zĂȘta de Riemann
La fonction zĂȘta de Riemann ζ est dĂ©finie sur le demi-plan des nombres complexes de partie rĂ©elle strictement supĂ©rieure Ă 1 par la sĂ©rie convergente :
Il s'agit d'une fonction holomorphe sur ce demi-plan.
Elle intervient dans lâĂ©tude de la rĂ©partition des nombres premiers dans le cadre de lâhypothĂšse de Riemann.
Généralisations
- Les séries de Bertrand, de la forme
- Les séries de Dirichlet, de la forme
- Les séries de Riemann multiples, de la forme Il y a convergence absolue si et seulement si Re(α) > k.