Série de Riemann

La série de Riemann de paramètre complexe α converge absolument si Re(α) > 1, et diverge si Re(α) ≤ 1.

En effet :

• si Re(α) ≤ 0, la série est grossièrement divergente ;
• la preuve de la convergence absolue pour Re(α) > 1 peut se faire par comparaison série-intégrale avec l'intégrale impropre associée :

  ${\displaystyle \int _{1}^{+\infty }{\frac {\mathrm {d} t}{t^{\alpha }}}~;}$

• celle de la divergence pour α ∈ ]0, 1] également ;
• si α = σ + it avec σ ∈ ]0, 1] et t réel non nul, il suffit d'affiner un peu la méthode.

On sait calculer explicitement la somme de la série de Riemann pour tout α entier pair supérieur ou égal à 2. Une observation assez frappante est que ces sommes sont toutes de la forme suivante, pour p entier naturel non nul :

${\displaystyle \sum _{n=1}^{+\infty }{1 \over n^{2\,p}}=r_{p}\,\pi ^{2\,p}}$, où ${\displaystyle r_{p}}$ est un nombre rationnel (voir Nombre de Bernoulli).

Par exemple${\displaystyle \sum _{n=1}^{+\infty }{1 \over n^{2}}={\frac {\pi ^{2}}{6}},\quad \sum _{n=1}^{+\infty }{1 \over n^{4}}={\frac {\pi ^{4}}{90}},\quad \sum _{n=1}^{+\infty }{1 \over n^{6}}={\frac {\pi ^{6}}{945}},\quad \sum _{n=1}^{+\infty }{1 \over n^{8}}={\frac {\pi ^{8}}{9450}}.}$

En revanche, on ne sait rien concernant les valeurs prises pour α entier impair, hormis que pour α = 3, la somme, appelée constante d'Apéry, est irrationnelle (démontré par Roger Apéry en 1978).

La fonction zêta de Riemann ζ est définie sur le demi-plan des nombres complexes de partie réelle strictement supérieure à 1 par la série convergente :

${\displaystyle \zeta (s)\ =\ \sum _{n=1}^{\infty }\ {\frac {1}{n^{s}}}.}$

Il s'agit d'une fonction holomorphe sur ce demi-plan.

Elle intervient dans l’étude de la répartition des nombres premiers dans le cadre de l’hypothèse de Riemann.

• Les séries de Bertrand, de la forme${\displaystyle \sum {1 \over n^{\alpha }\,(\ln n)^{\beta }}.}$
• Les séries de Dirichlet, de la forme${\displaystyle \sum {a_{n} \over n^{\alpha }}.}$
• Les séries de Riemann multiples, de la forme ${\displaystyle \sum _{n_{1},\cdots ,n_{k}>0}{\frac {1}{(n_{1}^{2}+n_{2}^{2}+\ldots +n_{k}^{2})^{\alpha /2}}},}$Il y a convergence absolue si et seulement si Re(α) > k.

• Histoire de la fonction zêta de Riemann
• Test de condensation de Cauchy