Série convergente

Si la série ${\displaystyle \sum _{}^{}a_{n}}$ est convergente, alors la suite ${\displaystyle (a_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ converge vers 0 puisque

${\displaystyle \forall n\geq 1,\qquad a_{n}=A_{n}-A_{n-1}}$

Lorsque le terme général d'une série ne tend pas vers 0, celle-ci est dite trivialement ou grossièrement divergente.

Exemple : ${\displaystyle \sum _{}^{}(-1)^{n}}$ est une série grossièrement divergente

La convergence absolue fournit une condition suffisante très fréquemment utilisée de convergence pour les séries numériques. On dit que la série ${\displaystyle \sum a_{n}}$ à termes réels ou complexes est absolument convergente lorsque la série de terme général ${\displaystyle |a_{n}|}$ (valeur absolue d'un réel ou module d'un nombre complexe) est convergente. Et dans ce cas, la série ${\displaystyle \sum a_{n}}$ elle-même converge.

Plus généralement, si ${\displaystyle \sum a_{n}}$ est une série à termes dans un espace de Banach, on dit qu'elle est absolument convergente lorsque la série de terme général ${\displaystyle \|a_{n}\|}$ est convergente. Et dans ce cas, la série ${\displaystyle \sum a_{n}}$ elle-même converge.

Étudier la convergence absolue fournit ainsi une condition suffisante agréable, vu qu'on est ramené à l'étude de séries à termes positifs, pour lesquelles existent de nombreux résultats spécifiques.

Il est possible d'énoncer une règle de comparaison entre deux séries à termes positifs sur laquelle s'appuient les autres règles d'étude.

• Si les séries ont des termes généraux a_n et b_n positifs, avec en outre pour tout n, a_n ≤ b_n : si la série de terme général b_n est convergente, celle de terme général a_n converge aussi (ou, ce qui est équivalent : si la série de terme général a_n est divergente, celle de terme général b_n diverge aussi).
  Bien sûr, effectuer la comparaison à partir d'un certain rang suffit.
• Plus généralement, si la suite (a_n) est dominée par (b_n) (a_n = O(b_n) avec les notations de Landau — en particulier si les termes sont strictement positifs et si pour tout n, ${\displaystyle {\tfrac {a_{n+1}}{a_{n}}}\leq {\tfrac {b_{n+1}}{b_{n}}}}$) : si ∑b_n converge, alors ∑a_n aussi.
• Par conséquent,si a_n ~ b_n alors les séries ∑a_n et ∑b_n sont de même nature. (De plus — voir Théorème de Stolz-Cesàro — cette équivalence de suites est transmise aux sommes partielles si les deux séries divergent, et aux restes si elles convergent.)

Ces critères ne peuvent être appliqués qu'à des séries à termes positifs. Par exemple les séries de terme général

${\displaystyle u_{n}={\frac {(-1)^{n}}{\sqrt {n}}}\qquad v_{n}={\frac {(-1)^{n}}{\sqrt {n}}}+{\frac {1}{n}}\sim u_{n}}$

sont, la première, convergente, et la seconde divergente.

Chacune de ces règles utilise le principe de comparaison précédent et est détaillée dans l'article correspondant.

• Règle de d'Alembert
  Soit ${\displaystyle \sum u_{n}}$ une série à termes strictement positifs pour laquelle le rapport ${\displaystyle {\frac {u_{n+1}}{u_{n}}}}$ tend vers une limite L . Dans ces conditions la série : converge si L < 1 ; diverge si L > 1 ; si L = 1 on ne peut pas conclure.
  Il existe une règle de Raabe-Duhamel pour pousser l'étude plus loin dans le cas douteux (L = 1).
• Règle de Cauchy
  Si les termes ${\displaystyle a_{n}\,}$ sont strictement positifs et s'il existe une constante C < 1 telle que ${\displaystyle (a_{n})^{\frac {1}{n}}\leq C}$ , alors ${\displaystyle \sum a_{n}}$ est convergente.
• Règle de comparaison série-intégrale
  Si ${\displaystyle f\,}$ est une fonction positive décroissante continue sur l'intervalle [1, ∞[, alors la série ${\displaystyle \sum f(n)}$ et l'intégrale ${\displaystyle \int _{1}^{\infty }f(x)\,{\rm {d}}x}$ sont de même nature, c'est-à-dire que la série est convergente si et seulement si l'intégrale est convergente.

Une série à valeurs dans un espace de Banach est convergente si (et seulement si) ses sommes partielles forment une suite de Cauchy, c'est-à-dire : ${\displaystyle \forall \varepsilon >0\quad \exists N\in \mathbb {N} \quad \forall n\geq N\quad \forall p\in \mathbb {N} \quad \left\|u_{n+1}+\dots +u_{n+p}\right\|<\varepsilon .}$

Exemple : dans l'espace ℓ^p(ℕ) muni de sa base de Schauder canonique (δ_n)_n∈ℕ, pour toute suite (λ_n)_n∈ℕ de scalaires telle que ∑_n∈ℕ|λ_n|^p < +∞, la série de terme général λ_nδ_n est inconditionnellement convergente, puisqu'elle et toutes ses permutées vérifient le critère de Cauchy et que l'espace est complet.

Soient

• ${\displaystyle (\alpha _{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ une suite réelle décroissante qui tend vers 0 ;
• ${\displaystyle (u_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ une suite complexe telle que pour un certain réel ${\displaystyle M}$ : ${\displaystyle \forall n\in \mathbb {N} ,\left|\sum _{k=0}^{n}u_{k}\right|\leq M.}$

Alors ${\displaystyle \sum \alpha _{n}u_{n}}$ est convergente.