Exemple (mathématiques)

Quand une proposition énonce une propriété universelle[1], un exemple qui illustre cette proposition n'a généralement pas valeur de démonstration. Un nombre fini d'exemples ne peut démontrer une propriété universelle valable pour un nombre infini de cas.

Ainsi, on ne peut pas prouver que la conjecture de Syracuse est vraie simplement en la testant sur des exemples, même si en 2013 on a vérifié tous les premiers cas jusqu'à plus de cinq milliards de milliards. Pour conclure que celle-ci est vraie, il faudrait exhiber un raisonnement général.

Pour conclure qu'une proposition universelle est fausse, un seul exemple qui la contredit suffit. Dans ce contexte, on l'appelle alors contre-exemple. Conjecture (Fermat) : quel que soit l'entier naturel n, 2⁽²ⁿ⁾ + 1 est un nombre premier.
Contre-exemple (Euler) : cette proposition universelle est fausse, car 2⁽²⁵⁾ + 1 = 2³² + 1 = 4 294 967 297 n'est pas premier, puisque c'est un multiple de 641.

Le fait que l'on ait beaucoup d'exemples, mais pas de contre-exemple, sans prouver quoi que ce soit, peut néanmoins conforter l'opinion selon laquelle cet énoncé devrait être vrai. Cette intuition guide souvent les raisonnements mathématiques. Elle a eu aussi son rôle dans l'histoire des mathématiques.

Ici, l'exemple guide l'induction.

Un exemple peut permettre de confirmer l'existence d'un cas où une proposition est vérifiée. Si on parvient à trouver un exemple, alors la propriété d'existence est démontrée. Proposition : il existe des entiers naturels non nuls a, b et c tels que a² + b² = c².
Démonstration : c'est vrai car, par exemple, 3² + 4² = 9 + 16 = 25 = 5².

Ce genre de démonstration d'une existence ne démontre pas l'unicité de l'existence (d'ordinaire, elle se montrerait alors par l'absurde). Au contraire, l'exemple peut même servir à démontrer la non-unicité, en fournissant plusieurs exemples confirmant une même propriété. Ici, on retrouve l'idée de contre-exemple.

Certaines propositions peuvent se définir sur un nombre fini de cas. Dès lors, pour prouver que cette proposition est vraie, il suffit de montrer par l'exemple qu'elle est vraie dans chacun des cas.Soit la proposition « Si ${\displaystyle i=2}$ ou ${\displaystyle i=-2}$, alors ${\displaystyle i\times i=4}$ ». On vérifie les exemples ${\displaystyle 2\times 2=4}$ et ${\displaystyle -2\times -2=4}$. Dans tous les cas, la propriété est vraie. On a donc bien démontré que la proposition était vraie.On parle alors plutôt de raisonnement par distinction de cas.

Il arrive également qu'une propriété universelle se ramène à un nombre fini (voire faible) de cas, soit parce qu'elle ne porte naturellement que sur ceux-ci, soit parce qu'une partie de la démonstration consiste en une réduction à ce nombre fini de cas.