Triplet pythagoricien

Si (a, b, c) est un triplet pythagoricien primitif alors (b, a, c) aussi, et a ou b est impair. Le théorème suivant caractérise donc tous ces triplets.

Il y a équivalence[6] - [7] - [8] entre

• (i) ${\displaystyle (a,b,c)}$ est un triplet pythagoricien primitif avec ${\displaystyle a}$ impair.
• (ii) Il existe un couple de nombres ${\displaystyle (p,q)\in \mathbb {N} ^{*2}}$ avec p > q , p et q premiers entre eux et de parités différentes, tels que
  ${\displaystyle a=p^{2}-q^{2},\quad b=2pq\quad {\text{et}}\quad c=p^{2}+q^{2}.}$

Remarques :

• La famille ${\displaystyle (p^{2}-q^{2},2pq,p^{2}+q^{2})}$ était connue d'Euclide[3].
• Pour un triplet primitif (a, b, c) avec a impair, le couple (p, q) est unique : ${\displaystyle p={\sqrt {\frac {a+c}{2}}},q={\sqrt {\frac {c-a}{2}}}}$.
• Le cas ${\displaystyle q=1}$ et p pair implique que tout nombre multiple de 4 : ${\displaystyle 2p\geqslant 4}$ fait partie d'au moins un triplet primitif : ${\displaystyle (p^{2}-1,2p,p^{2}+1)}$ (famille "de Platon" donnée ci-dessus).
• En posant ${\displaystyle m=p+q}$ et ${\displaystyle n=p-q}$, une reformulation de ce théorème est :

Théorème — ${\displaystyle (a,b,c)}$ est un triplet pythagoricien primitif avec ${\displaystyle a}$ impair si et seulement s'il existe deux entiers impairs premiers entre eux ${\displaystyle m>n\geqslant 1}$ tels que

${\displaystyle a=mn,\quad b={\frac {m^{2}-n^{2}}{2}}\quad {\text{et}}\quad c={\frac {m^{2}+n^{2}}{2}}.}$

• Le cas ${\displaystyle n=1}$ implique que tout nombre impair ${\displaystyle m\geqslant 3}$ fait partie d'au moins un triplet primitif : ${\displaystyle (m,(m^{2}-1)/2,(m^{2}+1)/2)}$ (famille équivalente à celle de Pythagore donnée ci-dessus).

Un triplet primitif ${\displaystyle (a,b,c)}$ avec ${\displaystyle a}$ impair, ${\displaystyle a=p^{2}-q^{2},b=2pq,c=p^{2}+q^{2}}$ donnés par le théorème précédent possède les propriétés suivantes :

Triangle rectangle (ABC) associé au triplet (a,b,c)

Triangle (3, 4, 5) avec son cercle inscrit de rayon 1.

• b est multiple de 4 (donc aucun entier de la forme 4k + 2 n'appartient à un triplet pythagoricien primitif) ;
• un entier exactement parmi a et b est multiple de 3[9] ;
• un entier exactement parmi a, b et c est multiple de 5[9] ;
• la hauteur issue de l'angle droit dans le triangle associé, ${\displaystyle h=ab/c}$, n'est pas entière ;
• l'aire du triangle associé ${\displaystyle S=ab/2}$ (qui est par définition un nombre congruent) n'est pas un carré[10] : c'est le théorème de Fermat sur les triangles rectangles[3] ;
• il existe des triplets où a et c sont premiers, comme (5, 12, 13), mais on ne sait pas s'il en existe une infinité[11] (cf. la suite A067756 de l'OEIS) ;
• les facteurs premiers de c sont de la forme 4k + 1, donc c également, comme pour toute somme impaire de deux carrés premiers entre eux ;
• réciproquement tout produit de nombres premiers de la forme 4k + 1 est le troisième terme d'un triplet pythagoricien primitif (cf. la suite A008846 de l'OEIS) ;
• ${\displaystyle {\tfrac {c-a}{2}}=q^{2}}$ et ${\displaystyle c-b=(p-q)^{2}}$ sont des carrés ;
• la réciproque de la propriété précédente est fausse comme le montre le triplet (1, 8, 9) ;
• au plus l'un des trois nombres a, b, c est un carré[12] ;
• les entiers a, b et c ne peuvent être simultanément des puissances n-ièmes avec ${\displaystyle n\geqslant 2}$ (conséquence du grand théorème de Fermat !)
• les entiers p et q s'interprètent dans le triangle associé par la formule ${\displaystyle \tan {\frac {B}{2}}={\frac {q}{p}}}$, puisque ${\displaystyle \tan B={\frac {2pq}{p^{2}-q^{2}}}}$ (voir figure ci-contre) ; ${\displaystyle \tan {\frac {A}{2}}={\frac {p+q}{q-p}}={\frac {m}{n}}}$ ;
• le rayon du cercle inscrit est l'entier ${\displaystyle r={\frac {ab}{a+b+c}}=q(p-q)}$ ; les rayons des trois cercles exinscrits sont les entiers ${\displaystyle r_{A}={\frac {ab}{-a+b+c}}=p(p-q)}$, ${\displaystyle r_{B}={\frac {ab}{a-b+c}}=q(p+q)}$ et ${\displaystyle r_{C}={\frac {ab}{a+b-c}}=p(p+q)}$ ; par exemple pour le triplet (3, 4, 5), p = 2 et q = 1 ; les rayons successifs sont 1, 2, 3 et 6 ;
• le diamètre du cercle circonscrit est égal à c.

Arbre de Berggren de construction des triplets pythagoriciens primitifs.

Berggren[13] a montré en 1934 que tout triplet pythagoricien primitif peut être obtenu à partir du triplet (3, 4, 5) par application répétée de ${\displaystyle {\mathcal {R}}_{1}}$, ${\displaystyle {\mathcal {R}}_{2}}$ et ${\displaystyle {\mathcal {R}}_{3}}$, avec :

selon la règle ${\displaystyle {\begin{pmatrix}a_{i}\\b_{i}\\c_{i}\end{pmatrix}}={\mathcal {R}}_{i}{\begin{pmatrix}a\\b\\c\end{pmatrix}}}$ De plus, cette décomposition est unique[14].

Géométriquement, le produit de ${\displaystyle {\mathcal {R}}_{i}}$ par un triplet (a, b, c) correspond à la construction Φ ${\displaystyle \circ }$ ${\displaystyle {\mathcal {S}}_{i}}$ effectuée pour le point ${\displaystyle \left({\frac {a}{c}},{\frac {b}{c}}\right)}$, où[3] :

• ${\displaystyle {\mathcal {S}}_{1}}$ est la symétrie par rapport à l’axe des ordonnées ;
• ${\displaystyle {\mathcal {S}}_{2}}$ est la symétrie de centre O ;
• ${\displaystyle {\mathcal {S}}_{3}}$ la symétrie par rapport à l'axe des abscisses ;
• et Φ l'application du cercle unité ${\displaystyle {\mathcal {(}}C)}$ dans lui-même qui à tout point M associe M’ le deuxième point d’intersection de ${\displaystyle {\mathcal {(}}C)}$ avec la droite passant par M et P(1,1).

• ${\displaystyle {\begin{pmatrix}77\\36\\85\end{pmatrix}}={\mathcal {R}}_{3}\circ {\mathcal {R}}_{2}{\begin{pmatrix}3\\4\\5\end{pmatrix}}}$
• ${\displaystyle {\begin{pmatrix}85\\132\\157\end{pmatrix}}={\mathcal {R}}_{1}\circ {\mathcal {R}}_{3}\circ {\mathcal {R}}_{3}{\begin{pmatrix}3\\4\\5\end{pmatrix}}}$

Si l'on note ${\displaystyle N_{c}(n)}$ le nombre de triplets pythagoriciens primitifs de troisième terme inférieur à ${\displaystyle n}$ et ${\displaystyle N_{s}(n)}$ le nombre de tels triplets de somme inférieure à ${\displaystyle n}$, Derrick Norman Lehmer a montré en 1900[15] que lorsque ${\displaystyle n}$ tend vers l'infini, ${\displaystyle N_{c}(n)\sim {\frac {n}{2\pi }}}$ et ${\displaystyle N_{s}(n)\sim {\frac {\log 2}{\pi ^{2}}}n}$.