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Théorème de Niven

En mathématiques, le théorème de Niven, d'après Ivan Niven, énonce que les seules valeurs rationnelles θ dans l'intervalle 0° ≤ θ ≤ 90° telles que leur sinus soit aussi rationnel sont[1]:

Ce théorème apparaît comme le corollaire 3.12 de l'ouvrage de Niven sur les nombres irrationnels[2].

Le théorème s'étend à d'autres fonctions trigonométriques[2]. Pour des valeurs rationnelles de θ, les seules valeurs rationnelles du sinus et cosinus sont 0, ±1/2, et ±1 ; les seules valeurs rationnelles du séquant et coséquant sont ±1 et ±2 ; et pour la tangente et cotangente, ce sont 0 et ±1[3].

Articles connexes

Références

  1. Schaumberger, « A Classroom Theorem on Trigonometric Irrationalities », Two-Year College Mathematics Journal, vol. 5, no 1, , p. 73–76 (DOI 10.2307/3026991, JSTOR 3026991)
  2. Ivan Niven, Irrational Numbers, The Mathematical Association of America, coll. « The Carus Mathematical Monographs » (no 11), (MR 0080123, lire en ligne), 41
  3. A proof for the cosine case appears as Lemma 12 in Bennett, Glass et Székely, « Fermat's last theorem for rational exponents », American Mathematical Monthly, vol. 111, no 4, , p. 322–329 (DOI 10.2307/4145241, JSTOR 4145241, MR 2057186)

Lectures complémentaires

Liens externes

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