Arithmétique

Allégorie de l'arithmétique.

Le mot arithmétique vient du grec ancien ἀριθμός / arithmós, « nombre »[1].

L’origine de l'arithmétique semble être une invention phénicienne[2]. Dans l'école pythagoricienne, à la deuxième moitié du VI^e siècle av. J.-C., l'arithmétique était, avec la géométrie, l'astronomie et la musique, une des quatre sciences quantitatives ou mathématiques (Mathemata). Celles-ci furent regroupées au sein des sept arts libéraux par Martianus Capella (V^e siècle) et plus précisément désignées sous le nom de quadrivium par Boèce. Les trois autres disciplines étaient littéraires (grammaire, rhétorique, dialectique) et firent l'objet des travaux de Cassiodore et, plus tard, Alcuin qui leur donna le nom de trivium.

L'arithmétique désigne l'étude des nombres, de leurs relations et de leurs propriétés individuelles et collectives[3] - [4]. Dans sa définition commune, elle se limite aux entiers naturels ou relatifs, et aux nombres rationnels[3] - [5], voire aux nombres réels, et à quelques opérations associées (addition, soustraction, multiplication, division, puissance et racine)[4].

Dans une acception plus rare, elle est utilisée dans un sens plus large par des mathématiciens, dont Carl Friedrich Gauss, pour inclure des concepts plus pointus de la théorie des nombres[4]. Au-delà de l'arithmétique élémentaire, le mot peut alors faire référence à l'arithmétique modulaire, à la théorie algébrique des nombres ou encore à l'arithmétique des polynômes.

Les nombres obtenus par dénombrement (comptage) d'objets d'ensembles divers donnent la liste des entiers naturels non nuls ${\displaystyle (1\,;\,2\,;\,3\,;\,4\,;\,5\,;{\mbox{ etc.}})}$[4]. Cet ensemble est représenté par le symbole ${\displaystyle \mathbb {N} ^{*}}$, ou ${\displaystyle \mathbb {N} }$ si on lui ajoute le nombre « ${\displaystyle 0}$ »[6].

L'ensemble des entiers relatifs peut alors être construit à partir des opérations d'addition et de multiplication : à l'ensemble des entiers naturels sont ajoutés le nombre « ${\displaystyle -1}$ », défini comme la solution de l'équation « ${\displaystyle 1+x=0}$ », et l'ensemble des nombres obtenus par résultat de l'opération « ${\displaystyle -1\times n}$ » (où ${\displaystyle n}$ est dans ${\displaystyle \mathbb {N} }$)[4]. L'ensemble des entiers relatifs ainsi obtenus ${\displaystyle (...\,-2\,;\,-1\,;\,0\,;\,1\,;\,2\,...)}$ est représenté par le symbole ${\displaystyle \mathbb {Z} }$[7].

L'introduction de l'opération de division fait apparaître un nouvel ensemble considérablement enrichi, celui des nombres rationnels[4]. Cet ensemble, noté ${\displaystyle \mathbb {Q} }$, est constitué de tous les nombres « ${\displaystyle a}$ divisé par ${\displaystyle b}$ » (${\displaystyle a}$ étant un entier relatif, et ${\displaystyle b}$ un entier non nul), représentés par la notation fractionnaire ${\displaystyle {\frac {a}{b}}}$[8] . En posant la division, il peut y avoir une infinité de chiffres après la virgule dans le résultat, mais ces chiffres finissent par se répéter : le nombre peut alors s'écrire avec un développement décimal périodique.

Malgré l'extension apportée par les nombres rationnels, ce dernier ensemble ne contient, par exemple, aucun élément correspondant à la longueur exacte ${\displaystyle d}$ de la diagonale d'un carré de côté ${\displaystyle 1}$, qui devrait vérifier ${\displaystyle d\times d=2}$[4]. De tels nombres, appelés irrationnels, accroissent considérablement l'utilité de l'arithmétique en permettant de définir les racines nième de tout nombre positif, mais ne peuvent être complètement définis qu'en dehors de son cadre[4]. L'ensemble des nombres réels est noté ${\displaystyle \mathbb {R} }$[9] ; il comprend les nombres rationnels et irrationnels. Ces nombres possèdent un développement décimal arbitraire[10].

Il est possible de ne considérer qu'une partie d'un ensemble. Ainsi, on note ${\displaystyle \mathbb {R} _{+}}$ l'ensemble des nombres positifs de ${\displaystyle \mathbb {R} }$. De même on note ${\displaystyle \mathbb {R} ^{*}}$ l'ensemble ${\displaystyle \mathbb {R} }$ privé de 0. On remarque entre autres que ${\displaystyle \mathbb {Z} _{+}=\mathbb {N} }$ et que ${\displaystyle \mathbb {Z} \setminus \mathbb {N} =\mathbb {Z} _{-}^{*}}$ (il s'agit de ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ « privé de » ${\displaystyle \mathbb {N} }$).

De nombreux nombres entiers ont des propriétés particulières. Ces propriétés font l'objet de la théorie des nombres. Parmi ces nombres particuliers, les nombres premiers sont sans doute les plus importants.