Ordre des opérations

Dans une succession d'additions et de soustractions, on peut effectuer les calculs de gauche à droite

2 − 0,5 + 1,5 = (2 − 0,5) + 1,5 = 1,5 + 1,5 = 3

mais d'autres regroupements sont possibles

2 − 0,5 + 1,5 = 2 + (−0,5 + 1,5) = 2 + 1 = 3

2 − 0,5 + 1,5 = 2 + 1,5 − 0,5 = 3,5 − 0,5 = 3

(mais on n'effectuera pas : 2 − (0,5 + 1,5) = 2 − 2 = 0)

Dans un calcul tel que 7 + 2 × 6, priorité est donnée à la multiplication :

7 + 2 × 6 = 7 + 12 = 19

(et on n'effectuera pas ainsi : (7 + 2) × 6 = 9 × 6 = 54, comme on serait tenté de le faire par lecture de gauche à droite).

L'usage de parenthèses permet donc de créer une exception aux priorités opératoires (multiplications et divisions prioritaires sur les additions et soustractions).

Ainsi, un calcul comme (7 + 2) × 6 s'effectue ainsi :

(7 + 2) × 6 = 9 × 6 = 54.

Ces quatre règles se complètent les unes les autres : ainsi le calcul 50 × 2 − [ 3 + 4 × (11 − 6 + 3) − 1 ] s'effectue ainsi :

A = 50 × 2 − [ 3 + 4 × 8 − 1 ] (priorité aux calculs entre parenthèses 11 − 6 + 3)

A = 100 − [ 3 + 4 × 8 − 1 ] (priorité à la multiplication 50 × 2 sur la soustraction précédant les crochets)

A = 100 − [ 3 + 32 − 1 ] (priorité à la multiplication au 4 × 8 sein des crochets)

A = 100 − 34 (priorité à la somme 3 + 32 − 1 entre crochets)

A = 66 (différence finale)

Une calculatrice scientifique prend en compte cet ordre des opérations mais effectuera les additions et soustractions mêlées ainsi que les produits et divisions mêlées dans l'ordre d'apparition des opérandes.

Arbre arithmétique de l'expression 50 × 2 − [ 3 + 4 × (11 − 6 + 3) − 1 ] et étapes de calcul de l'expression

Un arbre d'expression arithmétique est un arbre dont les feuilles sont des nombres et dont les nœuds contiennent une opération arithmétique (somme, différence, produit, quotient, exponentiation,...)[13]. Toute expression arithmétique bien formée peut se résumer en un arbre arithmétique. Au sommet de l'arbre se trouve le dernier calcul à effectuer, les noeuds de niveau inférieur sont les avant-derniers calculs à effectuer, ainsi de suite jusqu'à arriver aux feuilles. Il s'agit donc de lire les priorités à l'envers.

Ainsi, dans l'exemple précédent : 50 × 2 − [ 3 + 4 × (11 − 6 + 3) − 1 ], le dernier calcul à effectuer est une soustraction entre 50 × 2 et 3 + 4 × (11 − 6 + 3) − 1. L'arbre de l'expression est alors la concaténation de l'arbre de 50 × 2 et de l'arbre de 3 + 4 × (11 − 6 + 3) − 1. L'arbre se construit de propre en proche. Le calcul s'effectue ensuite en partant des feuilles et en remontant jusqu'à la racine.

La représentation en arbre peut favoriser une vision structurelle d'une expression algébrique[14] et mettre en évidence les priorités opératoires.

En mathématiques, les opérations de base, addition, soustraction, multiplication, division, exponentiation sont binaires, c'est-à-dire, qu'à deux éléments, on associe un troisième appelé résultat de l'opération. Dans une expression complexe, il est normalement nécessaire de retrouver ces associations par paires. Les parenthèses permettent de déterminer avec précision les paires concernées lorsque la priorité des opérations n'est pas appliquée. Ainsi une écriture sous la forme ${\displaystyle a+b.c-d+e\,}$ ne permet pas d'identifier les paires concernées et peut être l'écriture incomplète de

${\displaystyle ((a+b)\cdot (c-d))+e=(A\cdot B)+e}$ avec ${\displaystyle A=a+b}$ et ${\displaystyle B=c-d}$

Les parenthèses définissent un ordre de calcul consistant à calculer d'abord les parenthèses les plus intérieures.

Mais l'expression incomplète pourrait tout autant être celle de :

${\displaystyle ((((a+b)\cdot c))-d)+e}$ (si on prenait comme convention l'ordre de lecture)

${\displaystyle (a+(b\cdot c))-(d+e)}$

${\displaystyle ((a+(b\cdot c))-d)+e}$

${\displaystyle (a+((b\cdot c)-d))+e}$

ou autres…

Entre la présence complète de toutes les parenthèses et l'écriture ambiguë sans aucune parenthèse, il a fallu définir certaines règles.

René Descartes, précurseur dans la notation symbolique.

Les premières écritures des formules mathématiques furent rhétoriques, c'est-à-dire sous forme de phrase. Le modèle de référence est le texte mathématique euclidien[16], celui mis en place dans les éléments d'Euclide en 300 av. J.-C. Dans celui-ci, l'ordre des opérations est explicite. Il n'y a pas confusion possible entre les deux phrases suivantes :

• ajoute à la première quantité, le produit de la seconde par la troisième ;
• ajoute les deux premières quantités puis multiplie le résultat par la troisième.

ni aucune ambiguïté dans la phrase

• Prends la racine carrée de la somme des deux termes.

Mais, lors de la mise en place du calcul symbolique à la fin du XVI^e siècle et tout au long du XVII^e siècle, se pose alors le problème de l'écriture d'expressions mathématiques complexes. Les deux textes précédents pouvant se traduire l'une et l'autre par la même notation symbolique

a + bc

et le troisième texte s'écrivant comme

√a+b

pouvait aussi se traduire par « prends la racine carrée de a et ajoute-lui b ».

La recherche s'est donc portée sur l'étude des délimitants. Ceux-ci avaient pour but de préciser quelles étaient les opérations principales et secondaires et comment devaient se regrouper les termes. Ces délimitants furent de plusieurs types. Les principaux sont

• le vinculum : une barre horizontale placée sous ou au-dessus de l'expression à regrouper. Cette syntaxe permet de distinguer les deux sens

${\displaystyle a+{\underline {bc}}}$

et

${\displaystyle {\underline {a+b}}c}$

de l'expression précédente. On trouve trace de ce vinculum dans la barre de la racine carrée puisque le troisième texte se traduit encore de nos jours par

${\displaystyle {\sqrt {a+b}}}$

• le point
• la parenthèse

Ainsi une expression qui se lit de nos jours

(a + b).c,

s'écrivait

a + b..c

et l'on trouve chez Descartes[17] des expressions comme

√.3+√2.

signifiant actuellement

${\displaystyle {\sqrt {3+{\sqrt {2}}}}.}$

Ces délimitants ou signes d'agrégation furent particulièrement étudiés par Leibniz qui les appelle des signes de comprehensio.

D'autres moyens d'agréger plusieurs contenus consistaient à les positionner sur des lignes différentes. On retrouve notamment cette habitude dans l'écriture spatiale des fractions où le positionnement par rapport à la ligne d'écriture sert de délimiteur confirmé par la barre de fraction, sorte de vinculum. Ainsi l'expression que Descartes écrit sous la forme

${\displaystyle {\frac {a+{\frac {b}{c}}}{e+{\frac {f}{g}}}}}$

sera traduite par Leibniz[18], favorable à l'écriture linéaire,

((a + (b : c)):(e + (f : g))

On peut à ce sujet signaler l'importance de la position spatiale pour la lecture des priorités dans une expression comme

${\displaystyle E={\frac {a}{\frac {b}{c}}}}$

qui doit être lue

${\displaystyle E=a:(b:c)}$

alors que

${\displaystyle F={\frac {\frac {a}{b}}{c}}}$

doit être lue

${\displaystyle F=(a:b):c}$

Descartes utilise grandement la notation spatiale pour regrouper par exemple les termes à l'intérieur d'un produit, ainsi on peut lire chez lui des expressions[19] comme

${\displaystyle y^{6}-2by^{5}+\left.{\begin{array}{r}-2cd\\+b^{2}\\+d^{2}\end{array}}\right\}y^{4}+\left.{\begin{array}{r}+4bcd\\-2d^{2}v\end{array}}\right\}y^{3}+\left.{\begin{array}{r}-2b^{2}cd\\+c^{2}d^{2}\\-d^{2}s^{2}\\+d^{2}v^{2}\end{array}}\right\}y^{2}-2bc^{2}d^{2}y+b^{2}c^{2}d^{2}=0}$,

Le cas particulier de l'exponentiation doit être évoqué pour son rôle positionnel non symétrique : dans une écriture comme

3a^b+2,

la position de b+2 sur la ligne de l'exponentiation vaut comme signe d'agrégation et l'expression ne peut pas être confondue avec

3a^b+2.

En revanche, le fait que 3 et a soient tous les deux placés sur la ligne de calcul ne permet pas pour autant de les agréger et, de manière implicite, dès les premières exponentiations, chez Descartes, seul le premier terme à gauche de la puissance est concerné[20].

En toute théorie, toute expression mathématique complexe devrait contenir autant de délimitants que nécessaire pour lever toute ambiguïté. Ainsi une écriture comme

3a^2b+5

devrait s'écrire

${\displaystyle 3a^{2b+5}=3\left(a^{2b+5}\right)}$

${\displaystyle 3a^{2b+5}=3\left(a^{\left(2b+5\right)}\right)}$

${\displaystyle 3a^{2b+5}=3\left(a^{\left(\left(2b\right)+5\right)}\right)}$

écriture qui, certes, ne présente aucune autre interprétation, mais ne brille pas par la clarté de sa lecture.

La suppression de certains délimitants, comme dans l'exemple de l'exponentiation évoqué précédemment, apparaît naturellement chez les premiers auteurs comme Descartes ou Leibniz. Ainsi dans la résolution de l'équation du second degré que Descartes écrit[21]

${\displaystyle zz=az+bb}$

et dont il propose comme solution

${\displaystyle {\dfrac {1}{2}}a+{\sqrt {{\dfrac {1}{4}}aa+bb}}}$,

celui-ci omet délibérément les délimitants

${\displaystyle zz=(az)+(bb)}$

et

${\displaystyle \left({\dfrac {1}{2}}a\right)+{\sqrt {\left({\dfrac {1}{4}}aa\right)+(bb)}}}$

sans que soient jamais indiquées les règles de priorité qui régissent ce type de calcul.

Il faut probablement voir dans cette absence de délimitant une interprétation quant à la nature des objets manipulés. Cette interprétation en termes d'unité se retrouve déjà dans des textes rhétoriques. Quand les traducteurs d'Euclide[22] écrivent, concernant le partage entre moyenne et extrême raison

« Si une ligne est coupée entre raison extrême et moyenne, le carré du plus grand segment ajouté à la moitié du tout est égal à cinq fois le carré de la moitié »

— Les éléments, Livre XIII, proposition 1.

il n'y a pour eux aucune ambiguïté. Le mathématicien moderne, cherchant à écrire sous forme algébrique une telle expression et appelant x le plus grand segment et L la ligne se trouverait devant deux interprétations pour ce texte :

• le carré du plus grand segment (x²) ajouté à la moitié du tout (L/2) est égal à cinq fois le carré de la moitié (5(L/2)²) ;
• Le carré du « plus grand segment ajouté à la moitié du tout » ((x+L/2)²) est égal à cinq fois le carré de la moitié (5(L/2)²).

Pour Euclide et ses lecteurs, en revanche, il n'existe aucune ambiguïté, la première interprétation n'ayant aucun sens à leurs yeux. Le carré du plus grand segment étant une aire, et la moitié du tout étant une longueur, il n'y a aucun sens à ajouter une aire et une longueur et seule la seconde interprétation est correcte[23].

De même, quand Descartes écrit

${\displaystyle zz=az+bb}$,

le membre de gauche reste pour lui une aire et tout autre agrégation du second membre que celle couramment admise, ne pourrait conduire à une aire. Enfin le 1/2 devant a est davantage vu comme une fraction qu'une multiplication, on prend la moitié de a. De même, il n'y a pas moyen d'agréger différemment

${\displaystyle {\dfrac {1}{4}}aa+bb}$

sans que l'expression perde sa qualité d'aire.

Descartes donc, et ses successeurs, ont établi de manière implicite les règles de priorité opératoire qui sont utilisées actuellement. L'usage des parenthèses n'intervenant que pour déroger à ces priorités ou lever une ambiguïté sur le contenu.

La convention qui aurait privilégié l'ordre d'écriture, c'est-à-dire qui aurait consisté à effectuer les opérations dans leur ordre d'apparition, de la gauche vers la droite, sauf contrordre signalé par des délimiteurs, aurait chargé inutilement des expressions comme ${\displaystyle az+bb}$. Elle aurait, de plus, installé un ordre prioritaire (ce qui est à gauche est plus aggloméré que ce qui arrive à droite) qui serait entré en conflit avec les propriétés de commutativité (ce qui est à gauche peut passer à droite)

D'autres priorités ont tenté de voir le jour comme la notation polonaise inversée au début de XX^e siècle mais elles n'ont pas résisté à trois siècles de conventions et de publications.

En informatique, le concept de priorité des opérations porte en anglais le nom operator precedence.

Il porte aussi sur les opérateurs logiques : ainsi le « et » (logique) est prioritaire sur le « ou » (logique).

Certains langages informatiques comme le langage C ne possèdent que des opérateurs dont la fonction et la priorité sont prédéfinies. D'autres langages comme Haskell et Raku (Perl 6) permettent au programmeur de définir de nouveaux opérateurs dont ils doivent aussi spécifier la priorité.

• Michel Serfati, « Ambiguïté de l'ordre et signes délimitants », dans La Révolution symbolique (ISBN 2-84743-006-7).
• [GPC 2014] « Quelques réflexions sur les priorités opératoires », dans Annie Bourdil, Miquela Catlla, Florence Larue, Françoise Savioz, Bertrand Toquec, Bernard Vidal et Yves Chassin (responsable), Groupe premier cycle - Éléments 2, IREM de Toulouse, 2014 (lire en ligne), p. 5-27.