Calcul algébrique

En utilisant des lettres pour désigner des variables telles ${\displaystyle a,b,x{\text{ et }}y}$, la multiplication standard se note ${\displaystyle \times }$ ou bien ${\displaystyle \cdot }$ (ou sans signe lorsque le contexte le permet).

On notera donc 2 multiplié par 4 : ${\displaystyle 2\times 4}$ ou ${\displaystyle 2\cdot 4}$.

De même : ${\displaystyle x{\text{ fois }}y=x\times y=x\cdot y=xy}$.

On souhaite démontrer (lentement) que le produit de la somme et de la différence de deux nombres est égal à la différence de leurs carrés :

${\displaystyle (a-b)\cdot (a+b)=a\cdot (a+b)-b\cdot (a+b)=a^{2}+a\cdot b-b\cdot a-b^{2}=a^{2}-b^{2}}$ .

Ainsi ${\displaystyle (a-b)\cdot (a+b)=a^{2}-b^{2}}$.

Les règles de priorité qui s'appliquent aux suites de calculs définissent l'ordre dans lequel ces calculs doivent être menés.

1. Les parenthèses ont toujours priorité sur les autres calculs.
2. Viennent ensuite les crochets. Quand le problème des parenthèses et des crochets est réglé, on s'intéresse aux différentes opérations, à savoir dans l'ordre :
3. Les puissances
4. Les produits et les quotients
5. Les sommes et différences

Par exemple, dans le calcul de l'expression :
${\displaystyle A=8-3\cdot 5^{3}+(7+10)^{2}}$

D'après les règles de priorité, on commence par faire le calcul entre parenthèses
${\displaystyle \Leftrightarrow A=8-3\cdot 5^{3}+(7+10)^{2}=8-3\cdot 5^{3}+(17)^{2}}$ .

Ensuite, on effectue le calcul des puissances
${\displaystyle \Leftrightarrow A=8-3\cdot 5^{3}+(17)^{2}=8-3\cdot 125+289}$

Maintenant le calcul prioritaire à effectuer est le produit
${\displaystyle \Leftrightarrow A=8-3\cdot 125+289=8-375+289}$

Et maintenant, il ne nous reste plus que des sommes :
${\displaystyle \Leftrightarrow A=8-375+289=-78}$

Autre exemple :
${\displaystyle \displaystyle A=4+[5\cdot (8-6)+8]}$

${\displaystyle \displaystyle A=4+[5\cdot 2+8]}$

${\displaystyle \displaystyle A=4+[10+8]}$

${\displaystyle \displaystyle A=4+18}$

${\displaystyle \displaystyle A=22}$