Connecteur logique

Si l'on se place dans la logique classique, l'interprétation des variables se fait dans les booléens ou dans une extension multivalente[2] de ceux-ci.

Table des connecteurs logiques. (organisés par valeur de vérité)

Connecteurs logiques organisés en un diagramme de Hasse.

Dans le cas de la logique bivalente classique le tableau suivant recense les seize fonctions booléennes associées aux entrées P et Q, ces entrées sont les variables ou prémisses des formules.

Fonction booléenne	Notations	Formules équivalentes	Table de vérité	Diagramme de Venn
Proposition P	P		Q 0 1 P 0 0 0 1 1 1
Proposition Q	Q		Q 0 1 P 0 0 1 1 0 1
Négation de P	¬P ~P		Q 0 1 P 0 1 1 1 0 0
Négation de Q	¬Q ~Q		Q 0 1 Logique formelle P 0 1 0 1 1 0
Disjonction (OU)	P ${\displaystyle \lor }$ Q P ∨ Q P OR Q	P ${\displaystyle \leftarrow }$ ¬Q ¬P → Q ¬P ↑ ¬Q	Q 0 1 P 0 0 1 1 1 1
Conjonction (ET)	P ${\displaystyle \wedge }$ Q P & Q P · Q P AND Q	P ${\displaystyle \not \rightarrow }$¬Q ¬P ${\displaystyle \not \leftarrow }$ Q ¬P ${\displaystyle \downarrow }$ ¬Q	Q 0 1 P 0 0 0 1 0 1
Disjonction réciproque (NON-OU)	P ↓ Q P NOR Q	P ${\displaystyle \not \leftarrow }$ ¬Q ¬P ${\displaystyle \not \rightarrow }$ Q ¬P ${\displaystyle \wedge }$ ¬Q	Q 0 1 P 0 1 0 1 0 0
NON-ET	P ↑ Q P | Q P NAND Q	P → ¬Q ¬P ← Q ¬P ${\displaystyle \lor }$ ¬Q	Q 0 1 P 0 1 1 1 1 0
Contradiction	${\displaystyle \bot }$FALSE	P ${\displaystyle \wedge }$ ¬P	Q 0 1 P 0 0 0 1 0 0
Tautologie	${\displaystyle \top }$TRUE	P ${\displaystyle \vee }$ ¬P	Q 0 1 P 0 1 1 1 1 1
Implication	P → Q P ${\displaystyle \supset }$ Q	P ↑ ¬Q ¬P ${\displaystyle \lor }$ Q ¬P ← ¬Q	Q 0 1 P 0 1 1 1 0 1
Implication réciproque	P ${\displaystyle \leftarrow }$ Q P ${\displaystyle \subset }$ Q	P ${\displaystyle \lor }$ ¬Q ¬P ↑ Q ¬P → ¬Q	Q 0 1 P 0 1 0 1 1 1
Non-implication	P ${\displaystyle \not \rightarrow }$ Q P ${\displaystyle \not \supset }$ Q	P ${\displaystyle \wedge }$ ¬Q ¬P ↓ Q ¬P ${\displaystyle \not \leftarrow }$ ¬Q	Q 0 1 P 0 0 0 1 1 0
Non-implication réciproque	P ${\displaystyle \not \leftarrow }$ Q P ${\displaystyle \not \subset }$ Q	P ↓ ¬Q ¬P ${\displaystyle \wedge }$ Q ¬P ${\displaystyle \not \rightarrow }$ ¬Q	Q 0 1 P 0 0 1 1 0 0
Équivalence	P ${\displaystyle \leftrightarrow }$ Q P ≡ Q P ${\displaystyle \odot }$ Q P XNOR Q P IFF Q	P ${\displaystyle \not \leftrightarrow }$ ¬Q ¬P ${\displaystyle \not \leftrightarrow }$ Q ¬P ${\displaystyle \leftrightarrow }$ ¬Q	Q 0 1 P 0 1 0 1 0 1
Disjonction exclusive (OU exclusif)	P ${\displaystyle \not \leftrightarrow }$ Q P ${\displaystyle \not \equiv }$ Q P ${\displaystyle \oplus }$ Q P XOR Q	P ${\displaystyle \leftrightarrow }$ ¬Q ¬P ${\displaystyle \leftrightarrow }$ Q ¬P ${\displaystyle \not \leftrightarrow }$ ¬Q	Q 0 1 P 0 0 1 1 1 0

Une sémantique possible de la logique intuitionniste se fait dans les modèles de Kripke. Grosso modo, un modèle de Kripke est un graphe étiqueté, dont les nœuds sont appelés des « mondes », les étiquettes sont des formules et la relation sous-jacente ${\displaystyle R}$ est dite relation d'accessibilité. Dans ces graphes, la sémantique d'une formule ${\displaystyle \phi }$ dont le connecteur principal est ${\displaystyle c}$ est un modèle de Kripke avec un monde étiqueté par la formule ${\displaystyle \phi }$. La sémantique de la formule est définie à partir des sémantiques des composants de la formule. Si la formule ${\displaystyle \phi }$ est ${\displaystyle \psi ~c~\theta }$, la sémantique de ${\displaystyle \phi }$ se fera à partir des sémantiques de ${\displaystyle \psi }$ et ${\displaystyle \theta }$. Dire que dans le modèle de Kripke ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$, la formule ${\displaystyle \phi }$ étiquette le monde ${\displaystyle w}$, s'écrit ${\displaystyle {\mathcal {M}},w\models \phi }$. Dans ce cas ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$ est un modèle de ${\displaystyle \phi }$.

Par exemple, supposons que la formule soit ${\displaystyle p\Rightarrow q}$. Son connecteur principal est ${\displaystyle \Rightarrow }$. La définition de la sémantique de ${\displaystyle p\Rightarrow q}$ fonctionne ainsi : pour pouvoir dire que ${\displaystyle {\mathcal {M}},w\models p\Rightarrow q}$, il faut que, dans le modèle ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$, pour tout monde ${\displaystyle w'}$, accessible à partir de ${\displaystyle w}$, autrement dit tel que ${\displaystyle wRw'}$, on ait : ${\displaystyle {\mathcal {M}},w'\models p}$ implique ${\displaystyle {\mathcal {M}},w'\models q}$.

Il faut dans ce cadre expliquer comment les connecteurs se comportent vis-à-vis des modalités.