Principe du tiers exclu

Parménide utilise implicitement le principe du tiers exclu.

« Il [l'être] est absolument ou il n’est pas du tout[4]. »

Aristote le mentionne, le premier, avec clarté :

« Il n'est pas possible qu'il y ait aucun intermédiaire entre les énoncés contradictoires : il faut nécessairement ou affirmer ou nier un seul prédicat, quel qu'il soit[5]. »

Kant, dans sa Logique (1800), lie principe du tiers exclu et problèmes apodictiques (nécessaires).

« Nous pouvons poser ici trois principes comme critères universels de la vérité, simplement formels et logiques, ce sont : 1) le principe de contradiction et d'identité (principium contradictionis et identitatis) par lequel la possibilité interne d'une connaissance est déterminée pour des jugements problématiques, 2) le principe de raison suffisante (principium rationis sufficientis) […] pour les jugements assertoriques ; le principe du tiers exclu (principium exclusi medii inter duo contradictoria) […] pour des jugements apodictiques. […] Les jugements sont problématiques, assertoriques ou apodictiques. Les jugements problématiques sont accompagnés de la conscience de la simple possibilité, les assertoriques de la conscience de la réalité, les apodictiques enfin de la conscience de la nécessité du jugement[6]. »

Les « logiques polyvalentes » mettent en question le principe dès Lukasiewicz en 1910[7], qui revient à l'antique question des « futurs contingents » : si une proposition qui concerne le futur pouvait être caractérisée au présent déjà comme vraie ou fausse, on devrait admettre que le cours des événements est déterminé à l'avance. Les logiques polyvalentes contestent le principe du tiers exclu. Elles reconnaissent d'autres valeurs que le vrai et le faux, elles admettent, entre les deux, l'indéterminé, ou le possible, ou, en deçà, l'impossible (qui est un faux renforcé), et au-delà le nécessaire (degré supérieur du vrai). Heyting ne dit pas que le tiers exclu est faux, il en limite la portée[8]. Une proposition peut être absurde ou probable, et non seulement vraie ou fausse.

Brouwer puis Arend Heyting en 1930[9], en tant qu'intuitionnistes, critiquent les raisonnements fondés sur le tiers exclu. Ils estiment qu'on n'a pas le droit d'inférer une proposition de l'absence de démonstration de sa négation. Leur position est adoptée par les logiciens spécialistes de la théorie des types, assez nombreux, avec le développement de l'informatique.

La logique intuitionniste ne stipule pas le « principe » du tiers exclu. Autrement dit, le tiers exclu n'est pas un dogme en logique intuitionniste. En revanche, on peut montrer en logique intuitionniste que le tiers exclu est irréfutable, c'est-à-dire qu'admettre sa négation aboutirait à une contradiction. Dit autrement, la négation du tiers-exclu n'est pas démontrable en logique intuitionniste.

Un exemple de raisonnement faisant appel au tiers-exclu est le suivant :

${\displaystyle \forall a,b\in \mathbb {R} ,ab=0\Rightarrow a=0\ {\rm {ou}}\ b=0}$

Pour cela, appelons R la proposition « a=0 » et utilisons le principe du tiers exclu pour R. Il y a alors deux cas à examiner (un troisième cas étant exclu) :

• soit R est vraie : alors la proposition « R ou b=0 » est vraie ;
• soit R est fausse i. e. a≠0 alors en simplifiant par a la relation ab=0, nous obtenons b=0, et « R ou b=0 » est vérifiée.

Dans l'implication précédente, un mathématicien intuitionniste reformulera le raisonnement précédent en termes de démonstrations[12] :

• soit il y a une démonstration de R, alors un il y a une démonstration de « R ou b=0 »
• soit il n'y a pas de démonstration de R, mais cette absence de démonstration ne nous fournit pas une démonstration de « b= 0 ».

Le mathématicien intuitionniste refusera de conclure qu'il a une démonstration de a=0 ou b=0, parce qu'il ne peut pas exhiber une démonstration de a=0 ou une démonstration de non(a=0) ».

D'ailleurs, en logique intuitionniste, pour démontrer ${\displaystyle \phi }$ ou ${\displaystyle \psi }$, il faut soit avoir une démonstration de ${\displaystyle \phi }$, soit avoir une démonstration de ${\displaystyle \psi }$.

On se propose de démontrer que « Il existe des nombres irrationnels a et b, tels que a^b est rationnel ». Considérons la démonstration suivante[13] - [14] - [15] :

« On sait que √2 est irrationnel et que 2 est rationnel. Notons φ la proposition « √2^√2 est rationnel ». Appliquons le tiers exclu : φ est vraie ou φ est fausse.

• si φ est vraie alors les irrationnels ${\displaystyle a={\sqrt {2}}}$ et ${\displaystyle b={\sqrt {2}}}$ conviennent ;

• si φ est fausse alors les irrationnels ${\displaystyle a={\sqrt {2}}^{\sqrt {2}}}$ et ${\displaystyle b={\sqrt {2}}}$ conviennent, puisque ${\displaystyle a^{b}=({\sqrt {2}}^{\sqrt {2}})^{\sqrt {2}}={\sqrt {2}}^{{\sqrt {2}}\times {\sqrt {2}}}={\sqrt {2}}^{2}=2}$ est rationnel ».

Cette démonstration n'est pas constructive ; en effet, de par son utilisation du tiers exclu, elle n'exhibe pas une solution explicite, mais démontre seulement l'existence d'un couple-solution sans pouvoir préciser lequel (puisqu'on ne sait pas si φ est vraie ou fausse). En fait, φ est faux car d'après le théorème de Gelfond-Schneider, √2^√2 est même transcendant.

Nous avons vu plus haut des formulations équivalant au tiers exclu, mais ce ne sont pas les seules. Voici des formulations équivalant au tiers-exclu, parmi les plus connues :

• ${\displaystyle \neg \neg p\Rightarrow p}$, élimination de la double négation,
• ${\displaystyle ((p\Rightarrow q)\Rightarrow p)\Rightarrow p}$, loi de Peirce,
• ${\displaystyle (p\Rightarrow q)\Rightarrow (\neg p\vee q)}$, implication vue comme une disjonction,
• ${\displaystyle \neg (\neg p\wedge \neg q)\Rightarrow (p\vee q)}$, loi de De Morgan.
• ${\displaystyle (\neg p\Rightarrow \neg q)\Rightarrow (q\Rightarrow p)}$, contraposition.

En revanche, la proposition ${\displaystyle (p\Rightarrow q)\vee (q\Rightarrow p)}$, est une tautologie (classique), non démontrable en logique intuitionniste, et plus faible que le tiers-exclu.

• Alternative
• Analyse constructive
• Consequentia mirabilis
• Loi de Peirce
• Non-sens
• Principe de bivalence
• Principe de non-contradiction
• Principe d'identité
• Tétralemme
• Trichotomie