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Théorème de Gelfond-Schneider

En mathématiques, le théorème de Gelfond-Schneider, démontré indépendamment et presque simultanément en 1934 par Aleksandr Gelfond et Theodor Schneider[1] - [2], s'énonce de la façon suivante :

Théorème Si α est un nombre algébrique différent de 0 et de 1 et si β est un nombre algébrique irrationnel alors αβ est transcendant.

« Le » nombre αβ est à prendre ici au sens : exp(β log(α)), où log(α) est n'importe quelle détermination du logarithme complexe de α.

Le théorème de Gelfond-Schneider résout le septième problème de Hilbert et permet de construire de multiples exemples de nombres transcendants.

Exemples d'applications

L'application directe du théorème fournit des nombres transcendants comme 22 (la constante de Gelfond-Schneider), 22, ou encore eπγ pour tout nombre réel algébrique non nul γ (en posant α = e = –1 et β = –iγ), par exemple eπ = (–1)–i (la constante de Gelfond) ou e–π/2 = ii.

Mais par contraposée, on en déduit aussi :

Si β est un nombre irrationnel tel qu'il existe un nombre algébrique α différent de 0 et de 1 pour lequel αβ soit algébrique, alors β est transcendant.

Ainsi, l'irrationnel ln 3 / ln 2 est transcendant (en utilisant α = 2).

Références

  1. A. O. Gelfond, « Sur le septième Problème de D. Hilbert », Izv. Akad. Nauk SSSR, ser. VII (en), no 4, , p. 623-630 (lire en ligne).
  2. (de) T. Schneider, « Transzendenzuntersuchungen periodischer Funktionen. I. Transzendend von Potenzen », J. Reine Angew. Math., vol. 172, , p. 65-69 (DOI 10.1515/crll.1935.172.65).

Voir aussi

Articles connexes

Bibliographie

  • Julien Haristoy et Édouard Oudet, « Autour du septième problème de Hilbert : une excursion en transcendance », L'Ouvert (revue de l'IREM de Strasbourg et de l'APMEP d'Alsace), vol. 107, , p. 39-54 (lire en ligne)
  • (ru) R. Kuzĭmin, « Об одном новом классе трансцендентных чисел » [« Sur une nouvelle classe de nombres transcendants »], Izv. Akad. Nauk SSSR, ser. VII, no 6, , p. 585-597 (lire en ligne) (cas où β est un irrationnel quadratique)
  • Michel Waldschmidt, « Initiation aux nombres transcendants », L'Enseignement mathématique, vol. 20, , p. 53-85 (lire en ligne)
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