Irrationnel quadratique

Les exemples les plus simples d'irrationnels quadratiques sont les racines carrées d'entiers naturels non carrés (le plus célèbre étant √2). On démontre en effet que si un entier n'est pas le carré d'un entier alors, il n'est même pas le carré d'un rationnel ou encore — par contraposition — que si un entier d est carré d'un rationnel, alors √d est un entier. On peut la déduire de la proposition 8 du livre VIII des Éléments d'Euclide[1]. Les preuves usuelles font appel au lemme de Gauss ou même au théorème fondamental de l'arithmétique mais d'autres sont plus astucieuses, comme celle de Richard Dedekind[2] ou la suivante, essentiellement due à Theodor Estermann[3] - [4] :

Soit d un entier naturel dont la racine carrée est un rationnel, que l'on écrit sous la forme p/q avec q le plus petit possible (c'est-à-dire que q est le plus petit entier > 0 dont le produit par √d est entier), et soit n la partie entière de √d. Alors, l'entier r := p – nq vérifie : 0 ≤ r < q et r√d est entier. Par minimalité de q, r = 0 donc √d = n.

Plus généralement, tout entier algébrique non entier est irrationnel.

• Problème d'Hermite (en)
• Fonction point d'interrogation
• Théodore de Cyrène
• Théorème de Hasse-Minkowski