Proposition contraposée

La proposition : « A implique B » est représenté par la formule ${\displaystyle A\Rightarrow B}$ où le symbole ${\displaystyle \Rightarrow }$ désigne l'implication. En logique classique, l'implication logique ne présuppose aucune hiérarchie, même chronologique, entre ses éléments constituants, et est donc à bien distinguer de la causalité. Les lois de De Morgan résument la façon dont il faut permuter en logique les opérations « et » et « ou » lors de transformations de formules. La définition logique de l'implication est la suivante :

${\displaystyle A\Rightarrow B\equiv \neg {A}\lor B}$

On obtient la même formulation avec ${\displaystyle \neg B\Rightarrow \neg A}$. Ainsi, la formule ${\displaystyle A\Rightarrow B}$ est équivalente à la formule contraposée ${\displaystyle \neg B\Rightarrow \neg A}$.

En logique intuitionniste, logique qui refuse le raisonnement par l'absurde ou l'élimination de la double négation, ou en logique minimale, logique qui n'accorde aucun traitement particulier à la contradiction, les deux implications ${\displaystyle A\Rightarrow B}$ et ${\displaystyle \neg B\Rightarrow \neg A}$ ne sont pas équivalentes. En effet, en définissant la négation d'une proposition par le fait que cette proposition conduit à une contradiction, on montre en logique intuitionniste que la première implication entraîne la seconde mais que la réciproque est fausse. Supposons donc que ${\displaystyle A\Rightarrow B}$, et montrons que ${\displaystyle \neg B\Rightarrow \neg A}$. Si on a ${\displaystyle \neg B}$, alors A (qui entraîne B) conduit à une contradiction. Donc on a ${\displaystyle \neg A}$. On a donc montré que, sous l'hypothèse ${\displaystyle A\Rightarrow B}$, on a ${\displaystyle \neg B\Rightarrow \neg A}$.

La réciproque nécessite l'utilisation du raisonnement par l'absurde (ou sa variante, l'élimination de la double négation). Supposons en effet que ${\displaystyle \neg B\Rightarrow \neg A}$. Si on a A, alors ${\displaystyle \neg B}$ (qui entraîne ${\displaystyle \neg A}$) conduit à une contradiction. On a donc montré que ${\displaystyle A\Rightarrow \neg \neg B}$. Mais pour montrer que ${\displaystyle A\Rightarrow B}$, on doit utiliser le fait que, si ${\displaystyle \neg B}$ conduit à une contradiction, alors B est vrai, ce qui est l'essence même du raisonnement par l'absurde.

L'affirmation

Ceux qui parlent ne savent pas

est strictement équivalente à l'affirmation

Ceux qui savent ne parlent pas

On substitue simplement A=(parler) et B=non(savoir):

((parler) ⇒ non(savoir))

⇔ (non(non(savoir)) ⇒ non(parler))

⇔ ((savoir) ⇒ non(parler))