Quadrilatère

En géométrie élémentaire, une grande place est accordée aux quadrilatères convexes.

Un quadrilatère est convexe si et seulement si :

• quel que soit le côté que l'on choisit, le quadrilatère est entièrement inclus dans un demi-plan dont la frontière porte ce côté

ou

• c'est un quadrilatère non croisé dont tous les angles sont saillants

Ces caractérisations sont générales à tout polygone convexe. Dans le cas particulier du quadrilatère, il existe d'autres caractérisations : un quadrilatère est convexe si et seulement si :

• les diagonales se rencontrent.
• les diagonales sont situées à l'intérieur du quadrilatère
• une droite du plan ne passant pas par un sommet rencontre au plus deux côtés du quadrilatère.

Un quadrilatère simple est non convexe si l'une de ses diagonales est située à l'extérieur du quadrilatère.

L'aire d'un quadrilatère convexe est égale au demi-produit des longueurs des diagonales multiplié par le sinus de l'angle qu'elles forment.

L'intérieur d'un quadrilatère convexe ABCD peut être défini comme l'intersection des demi-plans ouverts délimités par (AB), par (BC), par (CD) et par (DA) et contenant respectivement chacun les points C, D, A et B.

Cela se traduit par le fait que les quatre produits ${\displaystyle \det({\overrightarrow {MA}},{\overrightarrow {MB}}).\det({\overrightarrow {CA}},{\overrightarrow {CB}}),\det({\overrightarrow {MB}},{\overrightarrow {MC}}).\det({\overrightarrow {DB}},{\overrightarrow {DC}}),\det({\overrightarrow {MC}},{\overrightarrow {MD}}).\det({\overrightarrow {AC}},{\overrightarrow {AD}}),\det({\overrightarrow {MD}},{\overrightarrow {MA}}).\det({\overrightarrow {BD}},{\overrightarrow {BA}})}$sont strictement positifs.

Le point d'intersection des diagonales d'un quadrilatère convexe est le point du plan pour lequel la somme des distances aux quatre sommets est minimale et ce minimum est strict[4].

Avec les notations de la figure, on utilise l'inégalité triangulaire dans les triangles AMC et BMD.

• Un quadrangle complet est l'ensemble de 4 points et des 6 droites qui les relient 2 à 2.
• Un quadrilatère complet est l'ensemble de 4 droites et de leurs 6 points d'intersection 2 à 2.

Un quadrilatère dont les diagonales (éventuellement prolongées) sont perpendiculaires est appelé un quadrilatère orthodiagonal. L'aire d'un tel quadrilatère non croisé est ${\displaystyle {\frac {D\times d}{2}}}$ (où D et d sont les longueurs des diagonales), même dans le cas non convexe.

Cette catégorie ne présente pas de régularité d'aspect.

Parmi les quadrilatères convexes dont les diagonales sont perpendiculaires, on peut noter :

• ceux qui ont deux côtés consécutifs égaux : les cerfs-volants (dont les losanges) ;
• ceux dont les diagonales sont de même longueur : les pseudo-carrés.

On n'obtient pas toujours un parallélogramme. Pour obtenir un parallélogramme, il faut que le quadrilatère soit en outre convexe et que les côtés opposés soient égaux. Si le quadrilatère n'est pas convexe et les côtés opposés sont égaux deux à deux, on obtient un quadrilatère croisé : l'antiparallélogramme.

Si les côtés égaux sont consécutifs deux à deux, on retombe sur le cerf-volant.

On retrouve là deux classes intéressantes de quadrilatères convexes : les trapèzes et, parmi eux, les parallélogrammes.

Parmi les trapèzes particuliers, on trouve le trapèze isocèle dont les côtés non parallèles sont de même longueur et le trapèze rectangle qui possède deux angles droits.

Parmi les parallélogrammes particuliers on trouve les rectangles (parallélogrammes à angles droits), les losanges (parallélogrammes à côtés adjacents égaux) et les carrés (à la fois rectangles et losanges).

Ainsi, selon cette classification, le carré est le quadrilatère le plus riche en propriétés. Il est aussi l'unique solution du problème isopérimétrique pour les quadrilatères. C'est-à-dire que, parmi tous les quadrilatères de même périmètre, le carré est celui qui possède la plus grande surface.

Les quadrilatères inscriptibles sont les quadrilatères dont les sommets sont situés sur un cercle, ou cocycliques.

Figure du théorème de Ptolémée :${\displaystyle AC\cdot BD=AB\cdot CD+AD\cdot BC}$

Le théorème de l'angle inscrit permet la caractérisation suivante : un quadrilatère est inscriptible si et seulement s’il possède deux angles opposés égaux ou supplémentaires : quand les angles sont supplémentaires il s'agit d'un quadrilatère convexe, et quand les angles sont égaux, il s'agit d'un quadrilatère croisé.

En particulier, un trapèze isocèle, un rectangle sont des quadrilatères inscriptibles.

Le théorème de Ptolémée permet d'affirmer qu'un quadrilatère convexe est inscriptible si, et seulement si, le produit des longueurs des diagonales est égal à la somme des produits des longueurs des côtés opposés.

La formule de Brahmagupta donne l'aire d'un quadrilatère convexe inscriptible en ne connaissant que la longueur de ses côtés.

${\displaystyle S={\sqrt {(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)}}}$

où ${\displaystyle p={\frac {1}{2}}(a+b+c+d)}$ est le demi-périmètre du quadrilatère, a, b, c et d sont les longueurs de ses côtés et S son aire.

Les quadrilatères circonscriptibles sont ceux admettant un cercle inscrit, c'est-à-dire tangent aux quatre côtés. Cela n'est possible que si les quatre bissectrices sont concourantes en un point qui est le centre du cercle inscrit.

Le théorème de Pitot caractérise les quadrilatères circonscriptibles : un quadrilatère dont les côtés ont pour longueurs successives a, b, c, et d est circonscriptible si et seulement si les sommes des côtés opposés sont égales entre elles, à savoir

${\displaystyle a+c=b+d={\frac {a+b+c+d}{2}}=p,}$

où p est le demi-périmètre du quadrilatère.

Les cerfs-volants, les losanges et les carrés sont des exemples de quadrilatères circonscriptibles.

Deux quadrilatères bicentriques inscrits et circonscrits aux mêmes cercles (application du porisme de Poncelet).

Les quadrilatères bicentriques sont à la fois inscriptibles et circonscriptibles, et héritent donc des caractéristiques des deux catégories précédentes.

La distance entre le centre du cercle circonscrit et le centre du cercle inscrit est l'objet du théorème de Fuss.

On peut appliquer aux deux cercles respectivement inscrits et circonscrits à un quadrilatère bicentrique le théorème de Poncelet qui permet de construire une infinité d'autres quadrilatères bicentriques relativement à ces cercles, comme illustré par la figure ci-contre.

• Quadrilatère complet
• Théorème de Pitot
• Relation d'Euler dans le quadrilatère
• Formule de Bretschneider donnant l'aire d'un quadrilatère non croisé
• Parallélogramme de Wittenbauer

La géomérie des quadrilatères par l'informatique [PDF]