Grand théorème de Poncelet
En géométrie, le grand théorème de Poncelet (parfois appelé porisme de Poncelet) est un énoncé portant sur l'inscription des polygones dans les coniques : un polygone inscrit dans une conique et circonscrivant une autre fait partie d'une famille infinie de polygones, eux-mêmes inscrit et circonscrits aux même coniques.
Ce théorème est nommé d'après le mathématicien et ingénieur français Jean-Victor Poncelet qui l'exposa dans un ouvrage de géométrie en 1822[1]. Il est, selon Marcel Berger, « de loin, le plus beau résultat sur les coniques »[2].
Énoncé
Soient C et C' sont deux coniques planes et n > 2. S'il existe un polygone à n côtés à la fois inscrit dans C (c'est-à-dire que tous les sommets du polygone appartiennent à C) et circonscrit à C' (c'est-à-dire que toutes les arêtes du polygone sont tangentes à C'), alors il existe une infinité de tels polygones à la fois inscrits dans C et circonscrits à C'
Par conséquent, si l'on donne deux coniques C et C' vérifiant la condition pour n, alors, en partant d'un point P0 quelconque sur la conique C, et en traçant une tangente à C' passant par P0, cette tangente coupe C en un deuxième point P1. On trace alors la tangente à C' passant par P1 qui coupe C en P2, et ainsi de suite. Le théorème de Poncelet affirme qu'en suivant ce procédé, on finira par retomber sur le point initial P0 en exactement n étapes, et ceci quel que soit le point de départ choisi.
Autrement dit, il suffit de pouvoir construire par ce procédé un polygone à n côtés inscrit dans C et circonscrit à C' pour pouvoir en construire une infinité d'autres par la même méthode en sélectionnant n'importe quel point de départ sur C.
Notes et références
- Jean-Victor Poncelet, Traité des propriétés projectives des figures : ouvrage utile à ceux qui s'occupent des applications de la géométrie descriptive et d'opérations géométriques sur le terrain, Paris, Gauthier-Villars, , 2e éd. (1re éd. 1822), 494 p. (lire en ligne), p. 311-317
- Marcel Berger, Géométrie, II, (ISBN 978-2-84225-145-1, 2-84225-145-8 et 978-2-84225-146-8, OCLC 968958830, lire en ligne), p. 170 et 203
Liens externes
- (en) Weisstein, Eric W., « Poncelet's Porism »
- (en) « Poncelet's Porism for two circles » [« Porisme de Poncelet pour deux cercles »] [Appli Géogebra]
- (en) « Poncelet's Porism for two ellipses (order 5) » [« Porisme de Poncelet d'ordre 5 pour deux ellipses »] [Appli Géogebra]