Formule de Bretschneider

En la séparant par l'une des diagonales intérieures (disons [BD]), la surface du quadrilatère est réunion de deux surfaces triangulaires. Son aire est alors donnée par

${\displaystyle {\begin{aligned}S&={\frac {ad\sin \alpha }{2}}+{\frac {bc\sin \gamma }{2}}.\end{aligned}}}$

D'où

${\displaystyle 4S^{2}=(ad)^{2}\sin ^{2}\alpha +(bc)^{2}\sin ^{2}\gamma +2abcd\sin \alpha \sin \gamma .}$

Or la formule d'Al-Kashi donne

${\displaystyle BD^{2}=a^{2}+d^{2}-2ad\cos \alpha =b^{2}+c^{2}-2bc\cos \gamma .}$

Cela peut être réécrit en

${\displaystyle {\frac {(a^{2}+d^{2}-b^{2}-c^{2})^{2}}{4}}=(ad)^{2}\cos ^{2}\alpha +(bc)^{2}\cos ^{2}\gamma -2abcd\cos \alpha \cos \gamma .}$

En ajoutant ceci à la formule ci-dessus donnant ${\displaystyle 4S^{2}}$, on obtient

${\displaystyle {\begin{aligned}4S^{2}+{\frac {(a^{2}+d^{2}-b^{2}-c^{2})^{2}}{4}}&=(ad)^{2}+(bc)^{2}-2abcd\cos(\alpha +\gamma )\\&=(ad+bc)^{2}-2abcd-2abcd\cos(\alpha +\gamma )\\&=(ad+bc)^{2}-4abcd\left({\frac {\cos(\alpha +\gamma )+1}{2}}\right)\\&=(ad+bc)^{2}-4abcd\cos ^{2}\left({\frac {\alpha +\gamma }{2}}\right).\end{aligned}}}$

Après factorisation de ${\displaystyle (a^{2}+d^{2}-b^{2}-c^{2})^{2}-4(ad+bc)^{2}}$, on obtient :

${\displaystyle 16S^{2}=(a+b+c-d)(a+b-c+d)(a-b+c+d)(-a+b+c+d)-16abcd\cos ^{2}\left({\frac {\alpha +\gamma }{2}}\right),}$

qui s'écrit aussi

${\displaystyle S^{2}=(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)-abcd\cos ^{2}\left({\frac {\alpha +\gamma }{2}}\right)}$,

d'où la formule de Bretschneider.

Voir une autre démonstration dans [3].

En ajoutant les aires des quatre triangles découpés par les diagonales, on obtient :

${\displaystyle S={\frac {1}{2}}ef|\sin \theta |={\frac {1}{2}}\lVert {\overrightarrow {AC}}\land {\overrightarrow {BD}}\ \rVert }$

où e et f sont les longueurs des diagonales et ${\displaystyle \theta }$ une mesure de leur angle.

En utilisant la formule d'Al-Kashi dans les quatre triangles découpés par les diagonales, on obtient :

${\displaystyle 2ef\cos \theta =\pm (a^{2}-b^{2}+c^{2}-d^{2})}$.

D'où, d'une part :

${\displaystyle S={\frac {1}{4}}|a^{2}-b^{2}+c^{2}-d^{2}|\cdot |\tan \theta |}$,

d'autre part [1]:

${\displaystyle S={\tfrac {1}{4}}{\sqrt {4e^{2}f^{2}-(a^{2}-b^{2}+c^{2}-d^{2})^{2}}}}$ .

Cette formule peut être modifiée en

${\displaystyle S={\sqrt {(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)-{\tfrac {1}{4}}(ac+bd+ef)(ac+bd-ef)}}}$,

forme due à Coolidge [4], montrant le lien avec la formule de Bretschneider.

Cette forme permet aussi de retrouver la formule de Brahmagupta pour le cas inscriptible, car dans ce cas, d'après le théorème de Ptolémée, ${\displaystyle ac+bd=ef}$.

• Formule de Brahmagupta
• Théorème de Ptolémée
• Aire du trapèze

• (en) Eric W. Weisstein, « Bretschneider's Formula », sur MathWorld