Formule de Héron

La loi des cosinus s'écrit ${\displaystyle 2ab\cos \gamma =a^{2}+b^{2}-c^{2},}$

jointe à la formule classique de l'aire du triangle donnée par cet angle et les côtés adjacents : ${\displaystyle {\begin{aligned}S&={\frac {ab}{2}}\sin \gamma \\&={\frac {2ab}{4}}{\sqrt {1-\cos ^{2}\gamma }}\\&={\frac {1}{4}}{\sqrt {2ab(1+\cos \gamma )2ab(1-\cos \gamma )}}\\&={\frac {1}{4}}{\sqrt {(2ab+a^{2}+b^{2}-c^{2})(2ab-a^{2}-b^{2}+c^{2})}}\\&={\frac {1}{4}}{\sqrt {\left((a+b)^{2}-c^{2}\right)\left(c^{2}-(a-b)^{2}\right)}}\\&={\frac {1}{4}}{\sqrt {(a+b+c)(a+b-c)(c+a-b)(c-a+b)}}.\end{aligned}}}$

Puis, en notant, p = a + b + c/2 le demi-périmètre, on conclut : ${\displaystyle S={\frac {1}{4}}{\sqrt {2p(2p-2c)(2p-2b)(2p-2a)}}={\sqrt {p(p-c)(p-b)(p-a)}}.}$

L'aire du triangle dépend de la longueur des 3 côtés : S(a,b,c), et ces trois variables ont exactement la même importance (il y a symétrie).

Si on suppose comme acquis que le carré de l'aire est un polynôme en (a,b,c), ce polynôme est symétrique. Par analyse dimensionnelle, on sait que ce polynôme est de degré 4 car c'est le carré d'une aire, et que le polynôme est homogène.

De plus l'aire s'annule seulement quand le triangle est plat, c'est-à-dire quand la somme des longueurs de deux des côtés égale la longueur du troisième. Il y a donc trois façons d'annuler le polynôme.

Le polynôme S² est alors de la forme

${\displaystyle S^{2}(a,b,c)=k\times (b+c-a)(a+c-b)(a+b-c).}$

Or comme S² est symétrique homogène de degré 4, k est un polynôme symétrique et homogène de degré 1 de la forme k = C(a+b+c) avec C une constante réelle à déterminer.

Pour trouver C, on regarde un cas particulier qui est celui du triangle rectangle isocèle. On a alors S = a²/2, a = b et ${\displaystyle c=a{\sqrt {2}}}$, ce qui donne

${\displaystyle {\frac {a^{4}}{4}}=C\left(2a+{\sqrt {2}}a\right)\left(2a-{\sqrt {2}}a\right)\left({\sqrt {2}}a\right)^{2}=C(4a^{2}-2a^{2})(2a^{2})}$

donc C = 1/16.

On a donc ${\displaystyle S^{2}(a,b,c)={\frac {1}{16}}(a+b+c)(b+c-a)(a+c-b)(a+b-c)}$.

On retrouve alors la formule démontrée par trigonométrie plus haut en remplaçant p par ${\displaystyle {\frac {a+b+c}{2}}}$.