Déterminant de Cayley-Menger

Soient ${\textstyle A_{0},A_{1},\ldots ,A_{n}}$ ${\displaystyle n+1}$ points d'un espace euclidien de dimension ${\displaystyle m}$ avec ${\displaystyle m\geqslant n}$. Ces points sont les sommets d'un simplexe de dimension n (triangle pour ${\displaystyle n=2}$ , tétraèdre pour ${\displaystyle n=3}$, pentachore pour ${\displaystyle n=4}$). Notant ${\textstyle d_{ij}}$ la distance du sommet ${\displaystyle A_{i}}$ au sommet ${\textstyle A_{j}}$, le volume ${\displaystyle V_{n}}$ n-dimensionnel de ce simplexe s'exprime par les déterminants suivants [1] :

$${\displaystyle {\begin{aligned}V_{n}^{2}&={\frac {1}{(n!)^{2}2^{n}}}{\begin{vmatrix}2d_{01}^{2}&d_{01}^{2}+d_{02}^{2}-d_{12}^{2}&\cdots &d_{01}^{2}+d_{0n}^{2}-d_{1n}^{2}\\d_{01}^{2}+d_{02}^{2}-d_{12}^{2}&2d_{02}^{2}&\cdots &d_{02}^{2}+d_{0n}^{2}-d_{2n}^{2}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\d_{01}^{2}+d_{0n}^{2}-d_{1n}^{2}&d_{02}^{2}+d_{0n}^{2}-d_{2n}^{2}&\cdots &2d_{0n}^{2}\end{vmatrix}}\\[10pt]&={\frac {(-1)^{n+1}}{(n!)^{2}2^{n}}}{\begin{vmatrix}0&d_{01}^{2}&d_{02}^{2}&\cdots &d_{0n}^{2}&1\\d_{01}^{2}&0&d_{12}^{2}&\cdots &d_{1n}^{2}&1\\d_{02}^{2}&d_{12}^{2}&0&\cdots &d_{2n}^{2}&1\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots &\vdots \\d_{0n}^{2}&d_{1n}^{2}&d_{2n}^{2}&\cdots &0&1\\1&1&1&\cdots &1&0\end{vmatrix}}.\end{aligned}}}$$

Le déterminant de Cayley-Menger ${\displaystyle D_{n}}$ est celui de la deuxième formule. La matrice dont ${\displaystyle D_{n}}$ est le déterminant est la matrice d'ordre ${\displaystyle n+1}$ de terme général ${\displaystyle d_{ij}^{2},{\text{pour }}0\leqslant i,j\leqslant n}$ , bordée par des 1 à droite et en dessous, complétée par un 0. On peut aussi mettre les 1 à gauche et en haut.

Pour ${\displaystyle n=2}$ , notant a,b,c les longueurs des côtés du triangle, on a les développements et factorisations :

${\displaystyle {\begin{aligned}-D_{2}=-{\begin{vmatrix}0&1&1&1\\1&0&a^{2}&b^{2}\\1&a^{2}&0&c^{2}\\1&b^{2}&c^{2}&0\end{vmatrix}}&={\begin{vmatrix}2a^{2}&a^{2}+b^{2}-c^{2}\\a^{2}+b^{2}-c^{2}&2b^{2}\end{vmatrix}}\\[8pt]&=4a^{2}b^{2}-(a^{2}+b^{2}-c^{2})^{2}\\[6pt]&=(a^{2}+b^{2}+c^{2})^{2}-2(a^{4}+b^{4}+c^{4})\\[6pt]&=(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)\end{aligned}}}$

Le carré de l'aire du triangle est ${\displaystyle V_{2}^{2}=-{\frac {D_{2}}{16}}}$, et l'on retrouve la formule de Héron.

C'est une expression polynomiale symétrique en les longueurs des côtés. Pour ${\displaystyle n>2}$, elle n'est plus symétrique en les ${\displaystyle n(n-1)/2}$ variables ${\displaystyle d_{ij}}$, mais seulement invariante par les ${\displaystyle n!}$ permutations sur les indices des sommets ; elle n'est plus non plus factorisable [2].

Pour ${\displaystyle n=3}$ , renommant ${\textstyle A_{1},A_{2},A_{3},A_{4}}$ les sommets du tétraèdre, on a ${\displaystyle D_{3}={\begin{vmatrix}0&1&1&1&1\\1&0&d_{12}^{2}&d_{13}^{2}&d_{14}^{2}\\1&d_{12}^{2}&0&d_{23}^{2}&d_{24}^{2}\\1&d_{13}^{2}&d_{32}^{2}&0&d_{34}^{2}\\1&d_{14}^{2}&d_{24}^{2}&d_{34}^{2}&0\end{vmatrix}}}$ et ${\displaystyle V_{3}^{2}={\frac {D_{3}}{288}}}$.

Cette dernière formule avait été obtenue (sous une forme développée) par Piero della Francesca ; elle est aussi connue sous le nom de « formule de Tartaglia »[3] - [4].

Cette formule est valable pour des points coplanaires, auquel cas ${\displaystyle D_{3}}$ est nul, et fournit donc une relation entre les 6 distances mutuelles de quatre points dans un plan.

Si les vecteurs colonnes ${\textstyle A_{0},A_{1},\ldots ,A_{n}}$ sont les coordonnées de ${\displaystyle n+1}$ points d'un espace euclidien de dimension ${\displaystyle n}$, on a la formule du volume :

${\displaystyle V_{n}={\frac {1}{n!}}\left|\det M\right|\,}$ où ${\displaystyle M={\begin{pmatrix}A_{0}&A_{1}&\cdots &A_{n}\\1&1&\cdots &1\end{pmatrix}}}$.

Le déterminant de ${\displaystyle M}$ reste inchangé par ajout d'une ligne et d'une colonne supplémentaires comme suit :

${\displaystyle P={\begin{pmatrix}A_{0}&A_{1}&\cdots &A_{n}&0\\1&1&\cdots &1&0\\\|A_{0}\|^{2}&\|A_{1}\|^{2}&\cdots &\|A_{n}\|^{2}&1\end{pmatrix}}\,,}$

où ${\displaystyle \|A_{j}\|^{2}}$ est le carré de la norme du vecteur ${\displaystyle A_{j}}$ . De plus la matrice d'ordre ${\displaystyle n+2}$

${\displaystyle Q={\begin{pmatrix}-2&0&\cdots &0&0&0\\0&-2&\cdots &0&0&0\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots &\vdots &\vdots \\0&0&\cdots &-2&0&0\\0&0&\cdots &0&0&1\\0&0&\cdots &0&1&0\end{pmatrix}}}$

a pour déterminant ${\displaystyle (-2)^{n}(-1)=(-1)^{n+1}2^{n}}$ . Ainsi,

${\displaystyle \det {\begin{pmatrix}0&d_{01}^{2}&d_{02}^{2}&\cdots &d_{0n}^{2}&1\\d_{01}^{2}&0&d_{12}^{2}&\cdots &d_{1n}^{2}&1\\d_{02}^{2}&d_{12}^{2}&0&\cdots &d_{2n}^{2}&1\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots &\vdots \\d_{0n}^{2}&d_{1n}^{2}&d_{2n}^{2}&\cdots &0&1\\1&1&1&\cdots &1&0\end{pmatrix}}=\det(P^{T}QP)=\det(Q)\det(P)^{2}=(-1)^{n+1}2^{n}(n!)^{2}V_{n}^{2}\,}$ [3].

Le premier déterminant est obtenu par combinaisons et développements sur les lignes et colonnes.

Voir une autre démonstration dans [5].

Il existe des généralisations sphériques et hyperboliques[6] - [7]. Une démonstration peut en être trouvée ici [8].

Dans un espace sphérique de dimension ${\displaystyle n-1}$ et de courbure constante ${\displaystyle 1/R^{2}}$, ${\displaystyle n+1}$ points satisfont à

${\displaystyle {\begin{vmatrix}0&f(d_{01})&f(d_{02})&\cdots &f(d_{0n})&1\\f(d_{01})&0&f(d_{12})&\cdots &f(d_{1n})&1\\f(d_{02})&f(d_{12})&0&\cdots &f(d_{2n})&1\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots &\vdots \\f(d_{0n})&f(d_{1n})&f(d_{2n})&\cdots &0&1\\1&1&1&\cdots &1&{\frac {1}{2R^{2}}}\end{vmatrix}}=0}$

où ${\displaystyle f(d)=2R^{2}\left(1-\cos {\frac {d}{R}}\right)}$, et ${\displaystyle d_{ij}}$ est la distance sphérique entre les points numérotés ${\displaystyle i,j}$ .

Dans un espace hyperbolique de dimension ${\displaystyle n-1}$ et de courbure constante ${\displaystyle -1/R^{2}}$, ${\displaystyle n+1}$ points satisfont à

${\displaystyle {\begin{vmatrix}0&f(d_{01})&f(d_{02})&\cdots &f(d_{0n})&1\\f(d_{01})&0&f(d_{12})&\cdots &f(d_{1n})&1\\f(d_{02})&f(d_{12})&0&\cdots &f(d_{2n})&1\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots &\vdots \\f(d_{0n})&f(d_{1n})&f(d_{2n})&\cdots &0&1\\1&1&1&\cdots &1&-{\frac {1}{2R^{2}}}\end{vmatrix}}=0}$

où ${\displaystyle f(d)=2R^{2}\left(\cosh {\frac {d}{R}}-1\right)}$, et ${\displaystyle d_{ij}}$ est la distance hyperbolique entre les points numérotés ${\displaystyle i,j}$ .

Un n-simplexe non dégénéré, possède une n -sphère circonscrite, de rayon ${\displaystyle R}$ . Le n + 1-simplexe composé des sommets du n -simplexe et du centre de la n-sphère est alors dégénéré. Ainsi, nous avons la nullité du déterminant d'ordre n + 3:

${\displaystyle {\begin{vmatrix}0&R^{2}&R^{2}&R^{2}&\cdots &R^{2}&1\\R^{2}&0&d_{01}^{2}&d_{02}^{2}&\cdots &d_{0n}^{2}&1\\R^{2}&d_{01}^{2}&0&d_{12}^{2}&\cdots &d_{1n}^{2}&1\\R^{2}&d_{02}^{2}&d_{12}^{2}&0&\cdots &d_{2n}^{2}&1\\\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots &\vdots \\R^{2}&d_{0n}^{2}&d_{1n}^{2}&d_{2n}^{2}&\cdots &0&1\\1&1&1&1&\cdots &1&0\end{vmatrix}}=0}$

En particulier, lorsque ${\displaystyle n=2}$, cela permet d'obtenir le rayon du cercle circonscrit à un triangle en fonction des longueurs de ses côtés.

• (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Cayley–Menger determinant » (voir la liste des auteurs).

Trigonométrie du tétraèdre