Loi des cotangentes

En géométrie du triangle, la loi des cotangentes est une relation entre les longueurs $a$ , $b$ et $c$ des côtés d'un triangle et les cotangentes de ses angles moitiés $α / 2$ , $β / 2$ et $γ / 2$ :

{\frac {\cot({\tfrac {\alpha }{2}})}{p-a}}={\frac {\cot({\tfrac {\beta }{2}})}{p-b}}={\frac {\cot({\tfrac {\gamma }{2}})}{p-c}}={\frac {1}{r}},

Fig. 1. Notations usuelles dans un triangle.

Fig. 2. Six triangles rectangles.

où $p = a + b + c / 2$ désigne le demi-périmètre et $r$ le rayon du cercle inscrit.

Démonstration

Découpons le triangle (cf. Fig. 2) en six triangles rectangles, symétriques deux par deux par rapport aux bissectrices et de côtés $(AM, r, x)$ , $(BM, r, y)$ et $(CM, r, z)$ , avec $x + y = c$ , $y + z = a$ et $z + x = b$ . Alors, $2 x + a = 2 x + y + z = b + c$ donc $x = b + c - a / 2 = p - a$ donc $cot(α /2) = x / r = p - a / r$ donc $cot(α /2) / p - a$ = $1 / r$ . De même, $cot(β /2) / p - b$ = $1 / r$ et $cot(γ /2) / p - c$ = $1 / r$ .

Corollaire

On déduit de la loi des cotangentes une expression du rayon $r$ du cercle inscrit, en fonction des longueurs des côtés (et de leur demi-somme $p$ ) :

r={\sqrt {\frac {(p-a)(p-b)(p-c)}{p}}}.

En effet, la somme des angles $α / 2$ , $β / 2$ et $γ / 2$ est égale à $π / 2$ donc sa cotangente est nulle, c'est-à-dire (d'après la formule d'addition pour les cotangentes) que le produit et la somme des cotangentes de ces trois angles sont égaux, donc

(p-a)(p-b)(p-c)=r^{3}\cot({\tfrac {\alpha }{2}})\cot({\tfrac {\beta }{2}})\cot({\tfrac {\gamma }{2}})=r^{3}\left[\cot({\tfrac {\alpha }{2}})+\cot({\tfrac {\beta }{2}})+\cot({\tfrac {\gamma }{2}})\right]=r^{2}\left[(p-a)+(p-b)+(p-c)\right]=r^{2}p,

d'où l'expression annoncée.

Puisque (cf. Fig. 2) l'aire du triangle est $S = rp$ , cette expression de $r$ équivaut à la formule de Héron :

S={\sqrt {p(p-a)(p-b)(p-c)}}.

Voir aussi

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