Cotangente

Graphe de la fonction cotangente.

Géométriquement, dans un triangle rectangle ABC d'hypoténuse AB :

${\displaystyle \cot {\hat {A}}=\mathrm {\frac {AC}{BC}} }$

En trigonométrie :

${\displaystyle \cot \theta ={\cos \theta \over \sin \theta }={1 \over \tan \theta }}$

La fonction cotangente vérifie l'égalité :

${\displaystyle 1+\cot ^{2}x=\csc ^{2}x}$

Dérivée

La dérivée de la cotangente est :

${\displaystyle \cot 'x=-\csc ^{2}x}$

Primitive

La primitive de la cotangente est :

${\displaystyle \int \cot x\mathrm {d} x=\ln(\sin x)+C}$

Développement en série

On a le développement en série de Laurent, où B_k désigne le k^e nombre de Bernoulli

${\displaystyle \cot x=\sum _{n=0}^{+\infty }{\frac {(-1)^{n}2^{2n}B_{2n}}{(2n)!}}x^{n}}$

mais aussi

${\displaystyle \pi \cot(\pi x)={\frac {1}{x}}+\sum _{n=1}^{+\infty }{\frac {2x}{x^{2}-n^{2}}}=\sum _{n=-\infty }^{+\infty }{\frac {1}{x+n}}}$

dont on déduit

${\displaystyle \cot(x)={\frac {1}{x}}+\sum _{n=1}^{+\infty }{\frac {2x}{x^{2}-n^{2}\pi ^{2}}}=\sum _{n=-\infty }^{+\infty }{\frac {1}{x+n\pi }}}$

(en) Eric W. Weisstein, « Cotangent », sur MathWorld