Trigonométrie

Les origines de la trigonométrie remontent aux civilisations d’Égypte antique, de Mésopotamie et de la vallée de l’Indus, il y a plus de 4 000 ans[1]. Il semblerait que les Babyloniens aient basé la trigonométrie sur un système numérique à base 60.

La tablette paléo-babylonienne Plimpton 322 (ca -1800) présenterait des rudiments de trigonométrie[2].

L'astronome et mathématicien grec Hipparque de Nicée (-190 ; -120) construisit les premières tables trigonométriques sous la forme de tables de cordes : elles faisaient correspondre à chaque valeur de l'angle au centre (avec une division du cercle en 360°), la longueur de la corde interceptée dans le cercle, pour un rayon fixe donné. Ce calcul correspond au double du sinus de l'angle moitié, et donne donc, d'une certaine façon, ce que nous appelons aujourd'hui une table de sinus. Toutefois, les tables d'Hipparque n'étant pas parvenues jusqu'à nous, elles ne nous sont connues que par le grec Ptolémée, qui les publia, vers l'an 150, avec leur mode de construction dans son Almageste. C'est ainsi qu'elles furent redécouvertes à la fin du Moyen Âge par Georg von Purbach et son élève Regiomontanus. On attribue à Ménélaos d'Alexandrie (fin du I^er siècle) des développements en trigonométrie sphérique, au moins partiellement présents dans l'Almageste et longtemps attribués à Ptolémée lui-même.

Vers l'an 400, est rédigé un traité indien d'astronomie, le Surya Siddhanta, qui s'inspire de l'astronomie grecque, mais qui apporte une innovation concernant la trigonométrie. Alors que les mathématiciens grecs associaient la mesure d'une corde à un arc, l'ouvrage préfère associer la demi-corde à un arc donné. Cela donnera naissance à la notion de sinus[3]. Il en sera de même plus tard des mathématiciens arabes. Le mathématicien indien Âryabhata, en 499, donne une table des sinus et des cosinus. Il utilise zya pour sinus, kotizya pour cosinus et otkram zya pour l'inverse du sinus. Il introduit aussi le sinus verse.

Un autre mathématicien indien, Brahmagupta, utilise en 628 l'interpolation numérique pour calculer la valeur des sinus jusqu'au second ordre.

C'est dans le monde musulman que la trigonométrie prend le statut de discipline à part entière et se détache de l'astronomie[4].

Abu l-Wafa (940-998) simplifie l'Almageste de Ptolémée en remplaçant l'usage du théorème de Ptolémée (qu'il nomme méthode du quadrilatère et des six quantités) par des formules de trigonométrie comparables aux nôtres (sinus de la somme de deux arcs, par exemple)[5]. Omar Khayyam (1048-1131) combine l'utilisation de la trigonométrie et la théorie de l'approximation pour fournir des méthodes de résolutions d'équations algébriques par la géométrie. Des méthodes détaillées de constructions de tables de sinus et cosinus pour tous les angles sont écrites par le mathématicien Bhāskara II en 1150. Il développe aussi la trigonométrie sphérique. Au XIII^e siècle, Nasir al-Din Tusi, à la suite de Bhāskara, est probablement un des premiers à considérer la trigonométrie comme une discipline distincte des mathématiques. Enfin, au XIV^e siècle, Al-Kachi réalise des tables de fonctions trigonométriques lors de ses études en astronomie.

En 1220, en Europe, Fibonacci propose une table trigonométrique dans sa Practica Geometriae[6], mais qui comporte malheureusement plusieurs erreurs.

La mise en place de mesures trigonométriques précises se développe vers le milieu du XV^e siècle, avec la traduction en latin des œuvres de Ptolémée. Les pionniers en ce domaine sont Georg von Peuerbach et surtout son étudiant Regiomontanus. Ce dernier adopte la notion de sinus utilisée par les mathématiciens indiens et arabes. Il dresse une table des sinus avec un rayon de 600 000 unités, puis 10 000 000 d'unités et donne également une table des tangentes[7]. Suivent au début du XVI^e siècle les traités d'Oronce Fine, Pedro Nunes et Joachim Rheticus. Ce dernier dresse une table trigonométrique pour un rayon de 10¹⁵ d'unités et avec un incrément de 10 secondes d'arc[8]. Le mathématicien silésien Bartholomäus Pitiscus publie un travail remarquable sur la trigonométrie en 1595, dont le titre (Trigonometria) a donné son nom à la discipline[7]. C'est le mathématicien flamand Adrien Romain qui introduit la notation moderne ${\displaystyle \sin \alpha }$.

L'utilisation de rayons ayant comme mesure une puissance de 10 et le développement du calcul décimal à la fin du XVI^e, avec François Viète[9] et Simon Stevin, amenèrent petit à petit à se ramener à un rayon unité et à introduire ${\displaystyle \pi }$ en tant que nombre et non plus en tant que rapport de deux longueurs.

Les applications de la trigonométrie sont extrêmement nombreuses. En particulier, elle est utilisée en astronomie et en navigation avec notamment la technique de triangulation. Les autres champs où la trigonométrie intervient sont (liste non exhaustive) : physique, électricité, électronique, mécanique, acoustique, optique, statistiques, économie, biologie, chimie, médecine, météorologie, géodésie, géographie, cartographie, cryptographie, informatique etc.

Quel que soit le réel ${\displaystyle a}$, on a (d'après le théorème de Pythagore):

${\displaystyle \cos ^{2}a+\sin ^{2}a=1\,}$

Les deux formules principales sont les formules d'addition pour le cosinus et le sinus :

${\displaystyle \cos(a+b)=\cos a\cos b-\sin a\sin b}$ ;

${\displaystyle \sin(a+b)=\sin a\cos b+\cos a\sin b}$.

On en déduit celle pour la tangente :

${\displaystyle \tan(a+b)={\frac {\tan a+\tan b}{1-\tan a\tan b}}}$,

ainsi que les formules de différence (en remplaçant B par -B, sachant que la fonction cosinus est paire et les fonctions sinus et tangente sont impaires).

${\displaystyle \cos(2a)=\cos ^{2}a-\sin ^{2}a=2\cos ^{2}a-1=1-2\sin ^{2}a\,}$

${\displaystyle \sin(2a)=2\sin a\cos a\,}$

${\displaystyle \tan(2a)={\frac {2\tan a}{1-\tan ^{2}a}}\,}$

${\displaystyle \sin(3a)=3\sin a-4\sin ^{3}a\,}$

${\displaystyle \cos(3a)=-3\cos a+4\cos ^{3}a\,}$

${\displaystyle \tan(3a)={\frac {3\tan a-\tan ^{3}a}{1-3\tan ^{2}a}}}$

Des formules d'addition et de différence (voir supra), on déduit :

Développement

${\displaystyle \cos a\cos b={\frac {\cos(a-b)+\cos(a+b)}{2}}}$, en particulier ${\displaystyle \cos ^{2}a={\frac {1+\cos(2a)}{2}}}$,

${\displaystyle \sin a\sin b={\frac {\cos(a-b)-\cos(a+b)}{2}}}$, en particulier ${\displaystyle \sin ^{2}a={\frac {1-\cos(2a)}{2}}}$,

${\displaystyle \sin a\cos b={\frac {\sin(a+b)+\sin(a-b)}{2}}}$ ;

Factorisation

${\displaystyle \cos p+\cos q=2\cos {{p+q} \over 2}\cos {{p-q} \over 2}}$,

${\displaystyle \cos p-\cos q=-2\sin {{p+q} \over 2}\sin {{p-q} \over 2}}$,

${\displaystyle \sin p+\sin q=2\sin {{p+q} \over 2}\cos {{p-q} \over 2}}$.

Ces formules interviennent dans de très nombreux problèmes. En posant :

${\displaystyle t=\tan {\frac {a}{2}}}$,

on a :

${\displaystyle \sin a={\frac {2t}{1+t^{2}}}~,\qquad \cos a={\frac {1-t^{2}}{1+t^{2}}}~,\qquad \tan a={\frac {2t}{1-t^{2}}}}$.

Les résultats donnés ici et dans les sections suivantes concernent les mesures en géométrie euclidienne. L'étude des mêmes questions en géométrie sphérique est faite à l'article Trigonométrie sphérique, et en géométrie hyperbolique à l'article Fonction hyperbolique.

Pour un triangle ABC de côtés a = BC, b = AC et c = AB, on a (loi des cosinus) :

${\displaystyle a^{2}=b^{2}+c^{2}-2\,b\,c\,\cdot \cos {\widehat {A}}}$.

Cette formule a une importance particulière en triangulation et a servi à l'origine en astronomie. On doit au mathématicien Ghiyath al-Kashi, de l'école de Samarcande, de mettre le théorème sous une forme utilisable pour la triangulation au cours du XV^e siècle.

Remarque : lorsque ${\displaystyle {\hat {A}}=90^{\circ }}$ ou ${\displaystyle \pi /2}$, on a ${\displaystyle a^{2}=b^{2}+c^{2}}$, c'est-à-dire le théorème de Pythagore.

Résoudre un triangle, c’est, étant donné un côté et deux angles adjacents, ou un angle et deux côtés adjacents, ou à la rigueur deux côtés b et c et leur angle B, trouver le triangle correspondant, c’est-à-dire a, b, c, A, B et C (et vérifier une des règles non appliquée dans le processus).

On résout ce genre de problème à l’aide des formules précédentes (plus la formule de projection évidente a = b · cos C + c · cos B).

Par exemple :

Sur l’axe Ox, OB = 1 et OC = 1,5. OBM = 60° et OCM = 30°. Trouver M :

Faire l’épure ; M se trouve en (x = 0,75 ; y = 0,45) environ.

Raisonner : dans le triangle BMC, B = 120° et C = 30° donc M = 30° ; donc le triangle est isocèle en B et BM'= 0,5.

Puis ${\displaystyle CM=2\times 0,5\times \cos(C)={{\sqrt {3}} \over 2}}$.

Soit H la projection de M sur l’axe : HM = y et l'angle HMB vaut 30°.

${\displaystyle y={{\sqrt {3}} \over 4}\approx 0,43}$ et ${\displaystyle x=1-{1 \over 4}={3 \over 4}=0,75}$.

La distance ${\displaystyle OM={{\sqrt {3}} \over 2}=MC}$, l’azimut de M vaut 30°, et l’angle OMB vaut 90°.

Il est rare que ce soit aussi simple en pratique.

En général, on demande quatre à six chiffres significatifs. Les calculettes ont considérablement réduit le travail assez fastidieux de « réduction des triangles ». Rappelons que la mesure du degré de l’arc méridien terrestre de Paris s’est effectuée de la sorte entre Malvoisine et Montlhéry par l’abbé Picard, dans le milieu du XVII^e siècle.

L'aire A du triangle se détermine à l'aide de la longueur de deux côtés et du sinus de l'angle qu'ils forment :

${\displaystyle A={\frac {1}{2}}a\times b\times \sin {\widehat {C}}}$.

D'une telle égalité, appliquée à chaque sommet du triangle, on peut déduire la loi des sinus.

La formule précédente, complétée par la loi des cosinus, permet également d'établir la formule de Héron :

${\displaystyle A={\sqrt {p(p-a)(p-b)(p-c)}}}$,

où a, b et c sont les longueurs de ses côtés et p désigne le demi-périmètre du triangle :

${\displaystyle p={(a+b+c) \over 2}}$.

• Flèche d’une corde AB sous-tendant l’arc AB avec ${\displaystyle {\widehat {AOB}}=2\alpha }$ : soit I le milieu de AB, et CD le diamètre passant par I ; alors avec f = ID ou f = IC :

  ${\displaystyle f\cdot (2R-f)=(R\cdot \sin(\alpha ))^{2}}$

• Aire de l'onglet :

  ${\displaystyle S=R^{2}\cdot \left[\alpha -{{\sin(2\alpha )} \over 2}\right]}$ ;

  Quand α est petit, on compare cette aire à celle de la parabole osculatrice ${\displaystyle {2 \over 3}\cdot f\cdot AB}$ (théorème d'Archimède) : la différence est d'ordre supérieur à trois.

John Machin a été le premier à calculer π avec 100 décimales, en 1706, grâce à sa formule. Des formules de ce type ont été utilisées jusqu’à nos jours, pour calculer un grand nombre de décimales de π.

• Le polygone à 17 côtés (heptadécagone) est constructible à la règle et au compas (théorème de Gauss-Wantzel).
• L’heptagone et l’ennéagone ne sont pas constructibles. En revanche, on peut construire par pliage l’heptagone et l’ennéagone.
  • On prouve que pour ${\displaystyle a={{2\pi } \over 7}}$ (intervenant dans la construction de l’heptagone par pliage), on a : ${\displaystyle \sin(a)\cdot \sin(2a)\cdot \sin(3a)={{\sqrt {7}} \over 8}}$ , ${\displaystyle \quad \cos(a)+\cos(2a)+\cos(3a)=-{1 \over 2}\quad }$ et ${\displaystyle \quad \cos(a)\cdot \cos(2a)\cdot \cos(3a)={1 \over 8}}$.
  • Des formules semblables existent pour l'ennéagone, pour ${\displaystyle a={{2\pi } \over 9}}$ :${\displaystyle \sin(a)\cdot \sin(2a)\cdot \sin(4a)={{\sqrt {3}} \over 8}}$ , ${\displaystyle \quad \cos(a)+\cos(2a)+\cos(4a)=0\quad }$ et ${\displaystyle \quad \cos(a)\cdot \cos(2a)\cdot \cos(4a)={1 \over 8}}$.

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