Mathématiques arabes

Plusieurs systèmes de numération ont coexisté dans le monde arabe médiéval.

On trouve en effet un système de numération décimal multiplico-additif où les 9 unités, les 9 dizaines, les 9 centaines et le millier sont identifiés par 28 lettres de l'alphabet arabe pris dans un certain ordre, le jummal. Un nombre comme 3854 s'écrit alors, à l'aide de cinq lettres, comme 3 fois 1000 plus 800 plus 50 plus 4. Ce système de numération semble avoir des sources syriaques, il permet en théorie d'écrire tous les nombres mais semble n'avoir pas été utilisé pour des grands nombres pour lesquels on préfère l'écriture sexagésimale. Ce système de numération est associé à un système de calcul mental appelé calcul digital. Dans ce système de numération il n'existe que 8 types de fractions : 1/2, 1/3, ..., 1/9, les autres s'exprimant par produit ou somme de fractions de ce type. Les fractions dont le dénominateur comporte un facteur premier différent de 2, 3, 5, 7 sont appelés des fractions sourdes c'est-à-dire inexprimables dont on cherche à fournir une valeur approchée[12].

On trouve également, principalement dans les écrits astronomiques, le système de numération sexagésimal des Babyloniens qui semble atteindre le monde arabe par la voie syriaque ou persane[13].

Généalogie de la numération indienne.

Un dernier système va remplacer peu à peu les deux précédents. C'est le système décimal positionnel d'origine indienne constitué de neuf chiffres et du zéro. Un des premiers écrits arabes le décrivant est le livre sur le Calcul indien d'al-Khwarizmi dont il ne reste qu'une version latine incomplète[14]. Cet ouvrage présente le système de notation, celui des fractions (fractions indiennes a^b⁄_c, décimales et sexagésimales) ainsi que les techniques opératoires (addition, soustraction, duplication, division par deux, multiplication, division, racine carrée). Un ouvrage postérieur d'al-Uqlidisi décrit également cette arithmétique et fait une étude comparée des trois arithmétiques (indienne, sexagésimale, digitale). C'est également lui qui perfectionne l'usage de la fraction décimale, utilisant un séparateur pour distinguer la partie entière de la partie décimale[15]. Le calcul indien se répand ensuite dans tout le monde arabe avec des graphies différentes en Occident et en Orient.

Le calcul digital est un système de calcul mental que l'on trouve dans l'empire byzantin et dans l'empire arabe, probablement issu du monde commercial. Il utilise les articulations des doigts pour stocker des valeurs intermédiaires et porte également le nom d'arithmétique des nœuds (ou hisāb al-'uqūd). Les méthodes sont simples concernant les additions et les soustractions mais elles se compliquent pour les autres opérations. Il a fait l'objet d'écrits dont le plus ancien en langue arabe est celui d'Abu al Wafa al-Buzjani[16] mais disparaît peu à peu avec le développement du calcul indien.

Multiplication par jalousies.

Le calcul indien apporte une amélioration significative en particulier concernant la multiplication, l'addition, et l'extraction de racine carrée. Selon la tradition indienne, les calculs s'effectuaient sur une tablette de sable où les calculs intermédiaires étaient effacés au fur et à mesure. Sous l'impulsion de mathématiciens arabes, ce système est progressivement mais lentement remplacé par des calculs avec encre et papier permettant de conserver et contrôler les résultats intermédiaires[17]. Ainsi la méthode des maisons (ou multiplication par jalousies) est déjà présente dans l'ouvrage d'al-Uqlidisi[18]. Les méthodes d'analyse numérique développées à partir du XI^e siècle[19] permettent également de trouver des valeurs approchées de plus en plus précises pour les calculs de racines (carrées, cubiques, etc.). L'astronome et mathématicien perse Al-Kashi a marqué, en calculant 16 décimales de π, une étape dans la succession des records, depuis les 3 décimales calculées par Archimède.

Les livres d'arithmétique présentent également des techniques de calculs des nombres figurés ( nombre polygonaux, nombres pyramidaux), des séries arithmétiques et géométriques, des sommes des carrés, des cubes ou des puissances quatre des premiers entiers. On trouve une partie de ces travaux dans des sources indiennes ou grecques, mais le traitement de ces calculs par Ibn Tahir, l'andalous al-Umawi (en) (XV^e siècle) et al-Kashi semble être original et leurs travaux permettent d'en faire un tout cohérent et exploitable[20].

Si l'on appelle nombre l'objet sur lequel se porte le calcul, on peut noter durant ces siècles, une évolution concernant le statut du nombre.

On trouve chez al-Khwarizmi comme chez les auteurs indiens des règles opératoires concernant le zéro mais uniquement en tant que symbole dans la numération décimale[21].

Le nombre négatif est également présent dans les coefficients de polynômes. Cela conduit al-Samaw'al à exposer des règles de signes identiques à celles existant dans les mathématiques indiennes[22] mais le résultat du calcul, ou la solution de l'équation reste dans le domaine des nombres positifs[23].

L'évolution la plus importante se trouve dans le traitement des quantités irrationnelles qui dès le X^e siècle se voient qualifiées de nombre (« adad »), le nombre rationnel étant « al-adad al-muntica » et l'irrationnel «al-adad al-summa »[24]. On assiste à une arithmétisation des grandeurs géométriques. Des règles opératoires sont données concernant les irrationnels quadratiques (a ± √b où a et b sont des rationnels et où b n'est pas le carré d'un rationnel) et biquadratique (racine carrée d'irrationnels quadratiques). Ainsi Abu Kamil donne-t-il la règle opératoire suivante sur la somme de deux irrationnels quadratiques[25] : ${\displaystyle {\sqrt {a}}+{\sqrt {b}}={\sqrt {(a+b)+2{\sqrt {ab}}}}}$ Ces irrationnels interviennent, ainsi que les nombres négatifs, chez Abu Kamil comme coefficients dans des équations au même titre que les entiers ou les rationnels. Les irrationnels issus de racines cubiques ou de racines n-ièmes, sont calculés de manière approchée et ces approximations sont utilisées dans d'autres calculs pour construire des tables trigonométriques ou approcher π[26]. La question sur la nature des nombres et, en particulier, sur le statut à accorder au quotient de deux grandeurs incommensurables est posée par des mathématiciens du XI^e siècle, al-Khayyam et Ibn Muʿādh qui concluent sur son statut de nombre[27].

Version arabe.

Version anglaise (traduction de Fredrick Rosen).

Pages du traité d'al-Khwarizmi.

Entre 813 et 830[28], al-Khwarizmi écrit son traité Kitab al-jabr wa al-muqabala (abrégé du calcul par la restauration et la comparaison) dans lequel il présente les techniques de résolution des équations du premier et second degré. Il commence par définir les objets de son étude : les nombres, l'inconnue (al-shay, la chose), son carré (al-māl, le trésor ou le bien), l'inconnue est aussi désignée comme la racine du bien (jidhr)[29]. Il présente ensuite les six situations canoniques auxquelles on peut se ramener. L'exposé d'al-Khwarizmi est entièrement rhétorique et ne fait appel à aucune écriture symbolique mais ses six situations peuvent se résumer en langage moderne dans ces 6 équations : ${\displaystyle (1):ax^{2}=bx\quad (2):ax^{2}=c\quad (3):bx=c\quad (4):ax^{2}+bx=c\quad (5):ax^{2}+c=bx\quad (6):ax^{2}=bx+c}$ avec a, b, c des nombres entiers ou rationnels positifs.

Pour chacune d'entre elles, il présente une méthode de résolution dont il démontre la validité par des raisonnements géométriques à l'aide d'aire de rectangles, de carrés et de gnomons. Les solutions ne sont cherchées que dans les nombres positifs[30]. Il étudie la condition d'existence de solutions pour l'équation de type 5 (4ac inférieur à b²) et présente les deux solutions de cette équation quand elles existent[31].

Il montre également comment se ramener à ces six situations canoniques à l'aide de la technique de restauration (ajouter une même quantité aux deux membres de l'égalité pour combler un trou) et de comparaison (supprimer une même quantité présente dans les deux membres de l'équation). Il définit également quelques règles élémentaires de calcul sur des expressions comportant son inconnue par exemple le développement de (a+bx)(c+dx)[32]. Suivent ensuite de nombreux problèmes pratiques de commerce, d'arpentage ou d'héritage[33].

Le sujet n'est pas nouveau. Il existe dans les mathématiques babyloniennes et indiennes des procédures de résolution de problèmes du premier et du second degré. Les termes même d'al-jabr et al-muqabala étaient déjà utilisés pour désigner des techniques de calcul[34]. On peut même citer deux contemporains d'Al-Khwârizmî écrivant parallèlement sur le même sujet (Ibn Turk et Abu Bakr[35]). Les mathématiques grecques avaient déjà résolu des problèmes du second degré à l'aide de manipulations géométriques. Enfin, Diophante, dont les Arithmétiques n'étaient pas connues d'Al-Khwârizmî[36], étudie de nombreux problèmes comportant plusieurs inconnues et leur carré ou leur cube et met en place une rédaction syncopée mélangeant rhétorique et un embryon d'écriture symbolique[37]. Le mérite d'al-Khwarizmi est d'avoir su présenter l'ensemble dans un tout cohérent et exhaustif, alliant technique et démonstration[38]. L'exposé d'une théorie des équations avec un nom, des objets, des outils, des preuves et des applications en fait une discipline à part entière[39]. Le lieu de naissance de l'algèbre est un sujet controversé[40] mais l'œuvre d'al-Khwarizmi contribue à en faire une discipline propre exploitable propice à son épanouissement[41].

Le travail d'al-Khwarizmi est développé par ses successeurs : Thābit ibn Qurra travaille sur la traduction géométrique des équations, Abu Kamil en augmente le degré et prend ses coefficients dans les nombres irrationnels[42]. Lorsqu'en 870, Qusta ibn Luqa traduit les Arithmétiques de Diophante, c'est le vocabulaire mis en place par al-Khwarizmi qu'il emploie[6].

Résolution de l'équation x³ + ax = b selon la méthode d'Omar Khayyam. AB² = a, AC × AB² = b, ABmn est un carré. Le demi-cercle de diamètre [AC] rencontre la parabole, de sommet A, d'axe (AB) perpendiculaire à (AC) et passant par m, en D. Le point D se projette orthogonalement sur [AC] en E. La distance AE est solution de l'équation.

Le nouvel outil est mis au service de la résolution de problèmes classiques de l'antiquité comme la duplication du cube, la trisection de l'angle, la construction de l'heptagone régulier et le découpage de la sphère selon une proportion donnée. Ces problèmes se ramènent à une équation de degré trois. Les mathématiciens arabes recherchent des méthodes générales de résolution par radicaux, mais c'est un échec[43].

Une autre voie est également explorée, plus fructueuse : la résolution des équations de manière approchée comme intersection de deux coniques. La méthode était déjà employée pour certaines équations par Apollonius dans ses Coniques[44]. Cette voie est étudiée par de nombreux mathématiciens arabes parmi lesquels al-Khazin, al-Quhi, Abu al-Jud Ibn al-Laith, al-Shanni, al-Biruni etc. L'apport décisif est celui d'al-Khayyam, qui en fait une étude systématique, classant les équations selon le signe de leurs coefficients, exhibant une solution positive, si elle existe, comme intersection de deux coniques et recherchant une valeur approchée de celle-ci[45]. Son travail est approfondi par Sharaf al-Dīn al-Tūsī, qui démontre que les solutions peuvent être obtenues comme intersection de deux coniques prises parmi parabole, hyperbole équilatère et cercle. Al-Tusi s'affranchit des contraintes d'homogénéité, s'intéresse également au nombre de solutions positives, ramène l'équation à la forme f(x) = c et discute du nombre de solutions selon la valeur du maximum pris par la fonction. Pour déterminer le maximum, il utilise la dérivée formelle du polynôme f sans cependant expliquer ce qui l'a conduit à inventer cette dérivation. Il utilise également cette dérivée formelle et des changements de variable affines dans le calcul d'une valeur approchée de la solution[46].

Un siècle et demi après al-Khwarizmi, al-Karaji entreprend d'appliquer les techniques de calcul du système décimal aux polynômes[47], plus exactement aux expressions que l'on écrit aujourd'hui sous la forme: ${\displaystyle \displaystyle \sum _{k=-m}^{n}a_{k}X^{k}.}$ par analogie avec l'écriture des nombres décimaux: ${\displaystyle \displaystyle \sum _{k=-m}^{n}a_{k}10^{k}.}$ Selon son successeur al-Samaw'al, il aurait démontré la formule du binôme jusqu'à la puissance 12 et indiqué que la formule pouvait se prolonger indéfiniment avec la règle de constitution des coefficients qui porte aujourd'hui le nom de formule du triangle de Pascal[48]. ${\displaystyle {n \choose p}+{n \choose p+1}={n+1 \choose p+1}.}$ C'est un des premiers exemples de démonstration utilisant une sorte d'induction de type fini[49].

Son travail est poursuivi et approfondi par al-Samaw'al qui donne les règles de calcul sur les monômes, les règles de divisibilité d'un polynôme par un autre et présente des techniques d'approximations d'un quotient de deux polynômes ou d'une racine carrée d'un polynôme en utilisant les exposants négatifs[49]. Il présente également les polynômes sous la forme synthétique d'un tableau contenant les coefficients des monômes rangés suivant leurs puissances décroissantes[50]. Il pose en outre une réflexion sur les exposants fractionnaires et en présente des règles de calcul[49].

En Occident arabe, la perte de manuscrits ne permet pas de définir avec précision les apports de chacun mais on sait que cette branche de l'algèbre était enseignée dans les universités andalouses encore au XIV^e siècle[51]. C'est aussi dans l'Occident arabe, au Maghreb plus précisément, que l'on trouve trace au XIV^e siècle (chez Ibn Qunfudh, Al-Qalasadi et Ibn Ghazi al-Miknasi (en)), et même dès le XII^e siècle[52], d'un symbolisme algébrique touchant tant le calcul que les polynômes et les équations, symbolisme qui semble apparaitre sous cette forme élaborée pour la première fois et serait une originalité des mathématiques de cette région[53].

L'algèbre est également mise au service de l'analyse indéterminée rationnelle, appelée aussi analyse diophantienne rationnelle. Celle-ci consiste à trouver, si elles existent, les solutions rationnelles à un problème comportant plus d'inconnues que d'équations. L'étude de ce type de problème intervient très tôt dans les mathématiques arabes : avant Abu Kamil qui est, semble-t-il, le premier à distinguer entre problème déterminé et problème indéterminé et avant la traduction des Arithmétiques de Diophante par Qusta Ibn Luqa[54]. Abu Kamil s'intéresse principalement aux problèmes du second degré et aux systèmes linéaires[55]. Il résout par exemple l'équation ax – x² + b = y² par changement de variable affine à coefficients rationnels et en précise les conditions d'existence[56]. Dans le cadre des systèmes d'équations, il utilise le principe d'élimination par substitution[57]. La traduction du traité de Diophante donne une forte impulsion à ce type de recherche, qui prend le nom de al-istriqa[58]. Al-Karaji consacre à ce sujet un traité aujourd'hui perdu, mais dont on trouve la trace dans deux autres de ses traités al-Badi et al-Fakhri. Il reprend et approfondit les problèmes présentés par Abu Kamil et par les livres II, III et IV des Arithmétiques pour en faire une étude systématique[59]. Son travail est prolongé par ses successeurs al-Samaw'al, al-Zanjani, Ibn al-Khawwam et Kamāl al-Dīn al-Fārisī et l'analyse indéterminée devient un chapitre intégré dans tout traité sur l'algèbre[60].

Calcul du volume du solide de révolution engendré par la rotation du triangle curviligne OAB, où OB est une portion de parabole d'axe OA, autour de AB[88].
Ibn al-Haytham découpe le solide en n tranches et encadre le volume de chaque tranche entre deux volumes cylindriques. Il calcule ensuite la somme de ces volumes cylindriques minorant et majorant le volume du solide à l'aide des formules de Faulhaber et double à l'infini le nombre de tranches pour démontrer que ${\displaystyle V={\frac {8}{15}}\pi a^{2}b}$.

Les formules sur les aires (disque, formule de Héron, polygones réguliers inscrits dans un cercle, cône) et de volumes (sphère, cône), connues des Grecs et des Indiens sont exposées très tôt (al-Khwarizmi, frères Banu Musa)[89]. Leurs calculs s'affinent grâce aux techniques d'analyse numérique. Très tôt (dès al-Biruni), les mathématiciens sont convaincus de l'irrationalité de π[90]. D'autres formules sont mises au point comme le volume des cônes et pyramides tronqués[91].

Une des originalités des travaux arabes est le développement de techniques infinitésimales s'appuyant sur la méthode d'exhaustion mise en pratique par Archimède dans La sphère et le cylindre et La mesure du cercle. Ce mouvement est initié par les frères Banu Musa qui comprennent la portée générale de la méthode d'Archimède et l'utilisent pour la surface de la sphère. Leur traité, Sur la mesure des figures planes et sphériques[n 1], devient un texte fondamental tant dans le monde arabe, que dans l'Occident latin, après sa traduction au XII^e siècle par Gérard de Crémone[92]. Leur disciple et successeur, Thābit ibn Qurra, poursuit dans la même voie, calculant l'aire d'une parabole[n 2] par découpage en trapèzes analogue aux sommes de Riemann[93]. Il calcule également le volume de paraboloïdes et l'aire de l'ellipse. Après lui, on peut citer Ibrahim ibn Sinan, al-Quhi, Ibn al-Haytham. Chez ce dernier, on trouve tous les éléments du calcul d'intégrale par sommes de Darboux (encadrement, jeu sur les découpages, erreur rendue aussi petite que l'on veut). Cependant les mathématiciens arabes limitent ces techniques aux aires et volumes qui peuvent s'exprimer en fonction d'aires et de volumes connus[94].

Ils s'intéressent aussi aux calculs d'aires de portions de cercle. Thābit ibn Qurra calcule l'aire de la partie de cercle limitée par le côté d'un triangle équilatéral et celui d'un hexagone régulier inscrits dans le cercle[91]. Ibn al-Haytham s'intéresse aux lunules[n 3] et montre la relation entre leurs aires et la trigonométrie[95].

Le problème des isopérimètres (à périmètre constant, quelle est la figure ayant la plus grande aire ?) déjà étudié par Zénodore et de nombreux mathématiciens grecs, est repris par les mathématiciens arabes (al Khazin, Ibn al-Haytham). Concernant l'espace et le problème des isépiphanes (à surface constante, quel est le solide de volume maximum ?), ils ne peuvent conclure rigoureusement mais leurs études conduisent au développement d'une théorie sur l'angle solide (Ibn al-Haytham)[96].

Les mathématiciens arabes s'intéressent également à des problèmes de constructions dont certains sont des problèmes classiques des mathématiques grecques : construction d'une double proportionnelle, trisection de l'angle, constructions exactes ou approchées de polygônes réguliers, découpage d'un carré en somme de plusieurs carrés, construction à la règle et au compas d'écartement constant, constructions géométriques pour les instruments astronomiques[97].

La résolution des équations de degré trois, ainsi que l'optique, les poussent à s'intéresser aux coniques dont ils étudient les propriétés focales (ibn Sahl) et pour lesquelles ils imaginent des mécanismes de construction en continu : compas parfait d'al-Quhi, mécanismes avec règle, corde et poulie d'Ibn Sahl[98]. Parmi ces traités, on peut citer le traité de Thābit ibn Qurra sur les ellipses et celui d'al-Sijzi sur les hyperboles. D'après le témoignage d'autres mathématiciens, il existerait des traités aujourd'hui perdus sur les courbes obtenues comme projections de courbes gauches[99].

Les mathématiciens arabes ont moins de réticence que certains mathématiciens grecs comme Euclide pour utiliser le mouvement et les transformations en géométrie[100]. L'homothétie est utilisée très tôt (Ibrahim ibn Sinan, al-Farabi et Abu l-Wafa). Ses propriétés sur les configurations (transformation de cercles en cercles) sont démontrées par Ibn-Sinan et al-Quhi. À leur suite, Ibn al-Haytham étudie les similitudes directes et démontre qu'elles transforment des droites en des droites et des cercles en des cercles. Thābit ibn Qurra et Ibrahim ibn Sinan utilisent des affinités pour transmettre des propriétés du cercle à l'ellipse ou de l'hyperbole équilatère à l'hyperbole quelconque et démontrent qu'une transformation affine quelconque conserve les rapports d'aire[101]. On rencontre même, chez al-Biruni et Ibn Sinan, des cercles transformés en coniques grâce à des transformations projectives[102].

Les besoins en astronomie, en particulier pour la construction d'astrolabes ou la détermination de la qibla, poussent les mathématiciens arabes à étudier les projections de la sphère sur le plan (projection orthogonale, projections stéréographiques de pôle et de plan divers, projections cylindriques, projections avec rabattement[103]). Al-Farghani démontre qu'une projection stéréographique transforme les cercles passant par le pôle en droites et transforme les autres cercles en cercles[104]. Son travail est prolongé par al-Quhi et ibn Sahl, mais ni l'un ni l'autre ne fait référence à une quelconque inversion[n 4] - [105]. La conformité (conservation des angles) de la projection stéréographique est connue et utilisée par al-Biruni et 'Abd al-Jabbar al-Kharaqi (m. 1158)[106] et la projection stéréographique est réinvestie en cartographie[107].

Quadrilatère de Lambert

Quadrilatère de Saccheri

Les angles restants peuvent être droits, aigus ou obtus selon la géométrie dans laquelle on travaille (euclidienne, hyperbolique ou elliptique). Les mathématiciens arabes prouvent qu'ils sont droits en commettant une pétition de principe ou en utilisant explicitement un axiome équivalent au 5^e postulat.

En commentant les Éléments d'Euclide, les mathématiciens arabes cherchent également à en réformer la théorie, affirmant par exemple qu'il est nécessaire d'ajouter un postulat sur l'existence des points, lignes et plans[108]. Ils s'interrogent aussi sur la nature du postulat V, dit Postulat des parallèles : « Si deux droites coupent une même droite en créant deux angles internes plus petits qu'un droit, alors ces droites sont sécantes », et tentent de le démontrer ou de le simplifier, exhibant ainsi des propriétés qui lui sont équivalentes (al-Jawhari, Thābit ibn Qurra, ibn al-Haytham, al-Biruni, Omar al-Khayyam, Nasir al-Din al-Tusi et son école[109] et Muhyi al-Dīn al-Maghribī[110]).

Al-Jawhari s'appuie ainsi sur l'idée que, par un point intérieur à un angle, on peut tracer une droite qui en rencontre les deux côtés[111]. Thabit ibn Qurra utilise l'hypothèse que deux droites qui s'éloignent dans une direction se rapprochent nécessairement dans l'autre et réciproquement. Il propose également dans une autre démonstration un mouvement simple : le lieu parcouru par l'extrémité A d'un segment [AB] perpendiculaire à (d) en B, quand le point B parcourt (d) est une droite parallèle à (d)[112]. Ibn al-Haytham se sert d'un quadrilatère possédant 3 angles droits (quadrilatère de Lambert)[113]. Al-Khayyam puis al-Tusi étudient le quadrilatère ABCD tel que les côtés AB et CD soient égaux et les angles de sommets C et D sont droits (quadrilatère de Saccheri)[114].

Les travaux de ces mathématiciens jettent les premières bases de ce qui deviendra au XIX^e siècle la théorie des géométries non euclidiennes, hyperbolique et elliptique[115].

La trigonométrie est une discipline créée pour les besoins de l'astronomie. Elle remonte au moins jusqu'à Hipparque qui construit la première table des cordes[n 5]. Le principal résultat utilisé en astronomie grecque et dans les débuts de l'astronomie arabe est le théorème de Ménélaüs. Les mathématiques indiennes introduisent le sinus[n 6] et le sinusverse[n 7], établissant également quelques formules sur le triangle rectangle sphérique[116]. Reprenant ces travaux, les mathématiciens arabes les enrichissent et les complètent. Ils en font une discipline à part entière donnant lieu à des traités spécifiques comme le 3^e traité du Canon de Masud d'al-Biruni[117], le traité de Ibn Muʿādh al-Jayyānī[118] et le Traité du quadrilatère de Nasir al-Din al-Tusi[119].

Ils introduisent de nouvelles fonctions, la sécante (R/sin) et la cosécante (R/sinus de l'angle complémentaire). Habash al-Hasib y ajoute la notion d'ombre correspondant à R.tan, à distinguer de l'ombre du gnomon[n 8]. Il s'en sert comme fonction auxiliaire dans ses tables numériques et la tabule[120]. Sont également établies quelques formules trigonométriques (relation entre les différentes fonctions, sinus de l'angle double, sinus d'une somme…)[121].

Ces fonctions trouvent leur utilité en trigonométrie sphérique où de nouvelles relations sont démontrées. La règle des sinus apparaît dans plusieurs écrits (al-Khujandi, Abu l-Wafa, Abu Nars)[122], la règle de la tangente[n 9] pour le triangle rectangle sphérique (Abu l-Wafa[123]) et la règle des cosinus dans le triangle rectangle sphérique (Abu Nars[124]). Progressivement sont établies les formules de résolution du triangle rectangle sphérique[125] et partiellement celles de résolution du triangle quelconque[126] avec introduction du triangle polaire (al Khazin, Abu Nars, Ibn Muʿādh al‐Jayyānī, Nasir al-Din al-Tusi)[127].

L'utilisation de la trigonométrie dans des problèmes plans reste occasionnelle, à l'exception d'al-Kashi qui produit une table réservée à la résolution des triangles plans quelconques[128] et en l'honneur duquel on a rebaptisé la loi des cosinus.

La recherche d'une plus grande précision dans les tables de sinus, avec de meilleures interpolations et avec l'aide de l'algèbre, occupe mathématiciens et astronomes arabes principalement à partir de la fin du X^e siècle (Ibn Yunus, abu l-Wafa, al-Biruni, al-Kashi)[129].

Manuscrit d'Ibn Sahl sur la loi de la réfraction.

L'optique géométrique arabe est une héritière directe de l'optique grecque[130]. Les grands noms de cette discipline sont Qusta ibn Luqa, al-Kindi, Ibn Sahl et Ibn al-Haytham. Dans un premier temps sont traduits, l’Optique d'Euclide, ainsi que d'autres ouvrages grecs sur l'optique ou la catoptrique (Dioclès, Anthémius de Tralles)[131]. Qusta ibn Luqa commente Euclide et a pour projet de justifier les propositions grecques sur la propagation rectiligne de la lumière et les lois de la réflexion[132]. L'étude des miroirs (plans, sphériques, paraboliques ou ardents) est approfondie et complétée. Al-Kindi met en doute la légende selon laquelle Archimède aurait incendié la flotte romaine à l'aide de miroirs et clarifie le principe du miroir parabolique[133]. En dioptrique, Ibn Sahl définit l'indice de réfraction et met en place la loi de Snellius. Il étudie en particulier la lentille biconvexe hyperbolique[134]. Ibn al-Haytham, grand réformateur de l'optique physiologique, physique et géométrique, fait une étude extensive des problèmes de réflexions et résout le problème qui porte son nom[135]: « Étant donnés deux points distincts A et B, trouver le point de réflexion, sur un miroir sphérique concave ou convexe, du rayon issu de A et arrivant à B. », ramenant le problème à l'intersection d'un cercle et d'une hyperbole[136]. En dioptrique, il étudie le dioptre et la lentille sphérique analysant le phénomène d'aberration sphérique[137]. Son grand traité L'Optique, traduit en latin au XII^e siècle a fait l'objet de nombreux commentaires jusqu'au XVII^e siècle[138].