Nombre parfait

On veut montrer l'équivalence :

A = 2^p−1(2^p − 1) (avec 2^p − 1 premier) ⇔ A est un nombre parfait pair.

Sens direct

Soit A = 2^p−1(2^p − 1), où 2^p − 1 est premier.

${\displaystyle \sigma (A)=\sigma (2^{p-1}(2^{p}-1))=\sigma (2^{p-1})\sigma (2^{p}-1).}$

Les diviseurs de 2^p−1 sont 1, 2, 4, 8, ..., 2^p−1. Leur somme est celle des termes d'une suite géométrique, qui vaut donc 2^p − 1.

Or ce nombre est premier. Ses seuls diviseurs sont 1 et lui-même et leur somme vaut 2^p.

En combinant ces résultats :

${\displaystyle {\begin{aligned}\sigma (2^{p-1}(2^{p}-1))&=\sigma (2^{p-1})\sigma (2^{p}-1)\\&=(2^{p}-1)(2^{p})\\&=2(2^{p-1})(2^{p}-1)\\&=2A.\end{aligned}}}$

Par conséquent A = 2^p−1(2^p − 1) est parfait.

Sens réciproque

Supposons que A soit un nombre parfait pair. A = 2^p−1x, où x est un entier impair.

Comme A est parfait, la somme de ses diviseurs vaut deux fois sa valeur :

${\displaystyle \sigma (A)=2A=2^{p}x=\sigma (2^{p-1}x)=\sigma (2^{p-1})\sigma (x)=(2^{p}-1)\sigma (x)}$.

Ainsi ${\displaystyle 2^{p}x=(2^{p}-1)\sigma (x)}$.

De cette égalité, le facteur impair 2^p − 1 du côté droit doit diviser x, le seul facteur impair du côté gauche (lemme de Gauss). Ainsi il existe un entier y < x, tel que x = y(2^p − 1). On divise les deux côtés de l'égalité par le facteur commun (non nul) 2^p − 1 :

${\displaystyle 2^{p}y=\sigma (x)}$.

Or ${\displaystyle 2^{p}y=\sigma (x)\geq x+y\ =2^{p}y}$ (on connait au moins deux diviseurs distincts de x : x et y. Il pourrait y en avoir d'autres. D'où ${\displaystyle \sigma (x)\geq x+y}$).

Comme il y a égalité, ${\displaystyle \sigma (x)=x+y}$. Les seuls diviseurs de x sont donc x et y, ce qui prouve que x est premier, et donc y = 1 et x = 1(2^p − 1) = 2^p − 1.

Ainsi A = 2^p−1(2^p − 1) avec 2^p − 1 premier. Ce qui était recherché.

Pour 2^p–1(2^p – 1), cette somme est égale à ${\displaystyle \left(\sum _{k=0}^{p-1}{\frac {1}{2^{k}}}\right)\left(1+{\frac {1}{2^{p}-1}}\right)={\frac {1-{\frac {1}{2^{p}}}}{1-{\frac {1}{2}}}}\left(1+{\frac {1}{2^{p}-1}}\right)=2}$.