Nombre de Kaprekar

Soient ${\displaystyle a\geq 2}$ et ${\displaystyle n\geq 1}$ deux entiers. On dit qu'un entier ${\displaystyle k}$ est un ${\displaystyle n}$-nombre de Kaprekar en base ${\displaystyle a}$ s'il existe deux entiers naturels ${\displaystyle u}$ et ${\displaystyle v}$ tels que :

${\displaystyle k^{2}=ua^{n}+v,\quad 0<v<a^{n}\quad {\text{et}}\quad k=u+v.}$

Les 30 premiers[1] nombres de Kaprekar en base dix sont :

1, 9, 45, 55, 99, 297, 703, 999, 2 223, 2 728, 4 879, 4 950, 5 050, 5 292, 7 272, 7 777, 9 999, 17 344, 22 222, 38 962, 77 778, 82 656, 95 121, 99 999, 142 857, 148 149, 181 819, 187 110, 208 495 et 318 682.

Dans l'inventaire que fait Kaprekar en 1980[2], il oublie tous les nombres de la forme ${\displaystyle 10^{n}-1}$ ainsi que les nombres 181 819 et 818 181. L'oubli est rectifié en 1981 par Mannis Charosh[3], qui met au point une méthode de génération de grands nombres de Kaprekar.

En 2000, Douglas Iannucci[4] démontre que les n-nombres de Kaprekar en base dix sont en bijection avec les diviseurs unitaires de ${\displaystyle 10^{n}-1}$ et montre comment les obtenir à partir de la décomposition en facteurs premiers de ${\displaystyle 10^{n}-1}$. Il démontre en outre que si k est un n-nombre de Kaprekar, il en est de même de ${\displaystyle 10^{n}-k}$.

Exemple

pour n = 2, ${\displaystyle 10^{2}-1}$ = 99 qui se divise de 2 façons à l'aide de diviseurs unitaires distincts de 1

99 = 9 × 11. Or 45 est le plus petit multiple de 9 congru à 1 modulo 11 et 45 est un 2-nombre de Kaprekar.

99 = 11 × 9. Or 55 est le plus petit multiple de 11 congru à 1 modulo 9 et 55 est un 2-nombre de Kaprekar

On remarque de plus que ${\displaystyle 55+45=10^{2}}$.

pour n = 3, ${\displaystyle 10^{3}-1}$ = 999 qui se divise de 2 façons à l'aide de diviseurs unitaires distincts de 1

999 = 27 × 37. Or 297 est le plus petit multiple de 27 congru à 1 modulo 37 et 297 est un 3-nombre de Kaprekar.

999 = 37 × 27 et 703 est le plus petit multiple de 37 congru à 1 modulo 27 et 703 est un 3-nombre de Kaprekar.

Enfin, on remarque que ${\displaystyle 297+703=10^{3}}$.

Iannucci démontre d'autre part que les nombres de Kaprekar en base 2 sont tous les nombres parfaits pairs.

Certains auteurs[5] imposent aux carrés des nombres de Kaprekar une décomposition en deux parties de tailles quasi-égales : un entier naturel k de n chiffres est dit de Kaprekar « naturel » si son carré se décompose en une partie droite de n chiffres et une partie gauche de n ou n – 1 chiffres telles que leur somme donne k. En imposant cette condition supplémentaire, la liste des nombres de Kaprekar se trouve amoindrie[6]. En base dix, les deux premiers nombres de Kaprekar non « naturels » sont 4 879 et 5 292.

Algorithme de Kaprekar